ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക
| ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക രചന: (2002) |
[ പുറം ]
[ പേര് ]
കേരള സർക്കാരിന്റെ സംസ്കാരിക പ്രസിദ്ധീകരണ
വകുപ്പിന്റെ ധനസഹായത്തോടെ പ്രസിദ്ധപ്പെടുത്തുന്നത് [ Edition_notice ]
| ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക |
| By |
| വി.വി.അബ്ദുല്ല സാഹിബ് |
| ആദ്യപതിപ്പ് : 2002 ഏപ്രിൽ |
| കോപ്പി : 1800 |
| അച്ചടി : ചാരുത പെരിഞ്ഞനം |
| വിതരണം : ആശിഖ് ബുക്ക് സെന്റർ, പെരിഞ്ഞനം |
| വില : ഇരുപത്തഞ്ച് രൂപ |
ജീവചരിത്രകുറിപ്പ്
ജനനം 1920. പ്രാഥമിക വിദ്യാഭ്യാസം സ്വദേശമായ പെരിഞ്ഞനം ഹൈസ്കൂൾ. കോളേജ് വിദ്യാഭ്യാസം തൃശ്ശൂരിൽ. 1943ൽ സെന്റ് തോമസ് കോളേജിൽ നിന്ന് B.A. പാസ്സായി. മലയാളത്തിൽ സംസ്ഥാനത്തിൽ (മദ്രാസ്) രണ്ടാമനായിരുന്നു. കാട്ടൂർ ഹൈസ്സ്കൂളിൽ അദ്ധ്യാപകനായും മദ്രാസ് A.G. ഓഫീസിലും കുറച്ചുകാലം ജോലി നോക്കി. 1945ൽ കസ്റ്റംസ് സെൻട്രൽ എക്സൈസിൽ സബ് ഇൻസ്പെക്‌ടറായി ചേർന്നു. 1978ൽ സൂപ്രണ്ടായി അടുത്തൂൺ പറ്റി പിരിഞ്ഞു.
സമൂഹം, തത്വശാസ്ത്രം, വേദാന്തം, ഭൗതികശാസ്ത്രം എന്നീ വിഷയങ്ങളിൽ മുപ്പതോളം ഗ്രന്ഥങ്ങൾ പ്രസിദ്ധപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. വിസ്തൃതഗോളശാസ്ത്രം എന്ന ബൃഹത്ഗ്രന്ഥം പ്രത്യേകം പ്രസ്‌താവ്യമാണ്. അറബി കവിതകൾ മലയാളത്തിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. ബഹു ഭാഷാ പണ്‌ഡിതനും, പ്രാസംഗികനുമാണ്. വായനയും എഴുത്തും പ്രസംഗവും തുടർന്നുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു.
ചെറുപ്പം മുതലേ കണക്കിൽ തൽപ്പരനായിരുന്നു. പ്രൈമറി ക്ലാസ്സിലായിരിക്കുമ്പോൾ ഉയർന്ന ക്ലാസ്സിലെ കണക്കുകൾ ചെയ്യുമായിരുന്നു, വിദ്യാർത്ഥിയെന്ന നിലയിൽ കണക്ക് എനിക്ക്‌ ഒരു'ഭാര"മായിരുന്നില്ല. S.S.L.C പരീക്ഷയിൽ 100% മാർക്ക്‌ വാങ്ങുകയുണ്ടായി . എന്റെ സഹപാഠിക്ക്‌ ഞാൻ കണക്കിൽ ട്യൂഷൻ കൊടുത്തിരുന്നു. കോളേജിലും ഐച്ചികവിഷയം കണക്കുതന്നെ.ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലുള്ള വാസന ആവേശമായിത്തീർന്നു. എൺപതുകഴിഞ്ഞ എനിക്ക്‌ ഇപ്പോഴും ആ ശാസ്ത്രത്തിലുള്ള താൽപ്പര്യത്തിന്‌ കുറവ്‌ സംഭവിച്ചിട്ടില്ല. ഔദ്യോഗിക ജീവിതകാലത്ത്‌ എന്റെ സ്‌നേഹിതന്മാരുടെ സന്താനങ്ങൾക്ക്‌ ഞാൻ കണക്ക് അദ്ധ്യാപനം ചെയ്യുമായിരുന്നു.വരുമാനത്തിനല്ല പഠിക്കുന്നവരെ പഠിപ്പിക്കുകയെന്നത്‌ എനിക്ക്‌ ആനന്ദകരമായ ഒരനുഭുതിയായിരുന്നു. ഇന്നും ഞാൻ കണക്ക് പഠിക്കുന്നു; തായാദികളെ പഠിപ്പിക്കുന്നു.
ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്ര ഗ്രന്ഥങ്ങളിലൂടെ എനിക്ക്‌ ഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്ര ലോകത്തിലേക്ക്‌ പ്രവേശനം ലഭിച്ചു. ലീലാവതി, യുക്തിഭാഷ മുതലായ ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങൾ വായിച്ചപ്പോൾ ഞാൻ ആനന്ദത്തിലാറാടുകയായിരുന്നു. കോളേജിൽ ആംഗല ഭാഷയിൽ പഠിച്ച ഗണിതശാസ്ത്രപാഠങ്ങളെല്ലാം ഉൽകൃഷ്ടമായ രീതിയിൽ സംസ്കൃതഭാഷയിൽ കണ്ട ഞാൻ അത്ഭുതപ്പെടുകയും ഭാരതീയരായ നമ്മുടെ പിതാമഹന്മാരുടെ വൈജ്ഞാനികന്നതൃത്തിന്‌ മുമ്പിൽ നമ്രശിരസ്കനാകുകയും ചെയ്തു,ആംഗലഭാഷയിലുള്ള ദീർഘമായ ഉപാദ്യങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും സംസ്കൃതത്തിൽ പദ്യരൂപമായി രസമായി പ്രകാശിപ്പിച്ചിട്ടുള്ളത്‌ വായിച്ചു ഞാൻ അത്ഭുതസ്തബ്ധനായിട്ടുണ്ട്‌. സത്യം പറയട്ടെ ശ്രുതിമധുരമായ ഗാനങ്ങൾ ആവർത്തിച്ചു കേൾക്കുന്ന താൽപര്യത്തോടെ, ഈ ഗണിതസിദ്ധാന്ത ശ്ലോകങ്ങൾ ഞാൻ ആവർത്തിച്ചു വായിച്ചു ഏകാന്തതയിൽ രസിച്ചിരിക്കുക പതിവാണ്‌.
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലൂടെ ഞാൻ അനുഭവിക്കുന്ന ആത്മനിർവൃതി അവാച്യമാണ്‌. അത് മറ്റുള്ളവരുമായി പങ്കിടുവാൻ എനിക്ക്‌ താൽപര്യമുണ്ട്‌. വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഗണിത വാസനക്ക്‌ മൂർച്ച കൂട്ടാനുദ്ദേശിച്ചുകൊണ്ടുള്ളതാണ്‌ “ബുദ്ധിയും യുക്തിയും കണക്കിലൂടെ”യെന്ന എന്റെ പുസ്തകം. നമ്മുടെ പൂർവ്വീകർ, മറ്റു ശാസ്ത്രങ്ങളിലെ പോലെ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ എത്രമാത്രം അവഗാഹം നേടിയിരുന്നു എന്ന വസ്തുത അറിയുന്നവർ വളരെ തുച്ഛമായിരിക്കുമല്ലൊ. വേദനാജനകമായ ആ അവസ്ഥക്ക്‌ മാറ്റം വരുത്തേണ്ടത്‌ ആവശ്യമാണെന്ന്‌ എനിക്ക്‌ തോന്നി. അഭ്യസ്തവിദ്യരുടെ അറിവിന്നായി അൽപ്പം ചില പ്രാഥമിക ഗണിതപാഠങ്ങൾ മാതൃകക്കായി പലയിനത്തിൽ നിന്നും തെരഞ്ഞെടുത്തു സമാഹരിച്ചതാണ്‌ 'ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക'.
കേരള സർക്കാരിന്റെ സാംസ്‌കാരിക പ്രസിദ്ധീകരണവകുപ്പ്‌ ഈ കൊച്ചുഗ്രന്ഥം അംഗീകരിക്കുകയും അതിന്റെ (പചരണത്തിന്‌ വേണ്ടി സാമ്പത്തിക സഹായം നൽകുകയും ചെയ്തിരിക്കുന്നു. സർക്കാരിനോട്‌ എനിക്കുള്ള കടപ്പാട്‌ നന്ദിപൂർവ്വം ഇവിടെ രേഖപ്പെടുത്തിക്കൊള്ളുന്നു.
ഗണിതശാസ്ത്ര തൽപ്പരന്മാർ ഈ പുസ്തകം വിജ്ഞാനപ്രദവും ആനന്ദദായകവുമായിക്കാണുമെന്ന്‌ വിശ്വസിക്കുന്നു.
| പെരിഞ്ഞനം (തൃശ്ശൂർ) 01.11.2001 |
ഗ്രന്ഥകർത്താവ്‌ |
[ 1 ] ഭാരത്യയ ഗണിത സൂചക ഭാരതം പുരാതനകാലം മുതൽ ഒരു സംസ്കാര കേന്ദ്രമായിരുന്നു. വേദോപനിഷ അക്കൾ ഈ വസ്തുത തെളിയിക്കുന്നുണ്ട്. ശാസ്ത്രസാങ്കേതിക വിജ്ഞാനത്തെ സംബന്ധിച്ച പരാമർശങ്ങൾ ഈ ഗ്രന്ഥങ്ങളിലുണ്ട്. കണക്കിലും ഗോളശാസ്ത്രത്തിലും ബി സി ആവാം ശതകത്തിൽത്തന്നെ ഭാരതം അത്യുന്നതസ്ഥാനത്തെത്തിയിരുന്നു. സംസ്കൃതാഷയിൽ മറഞ്ഞുകിടന്നു തിളങ്ങുന്ന ആ വിജ്ഞാനദണ്ഡാകാരത്തെക്കുറിച്ച് ഇന്ന് ഭാരതീയർക്ക് പൊതുവിൽ യാതൊരു ധാരണയുമില്ല. ഭാരതം വിദേശീയർക്ക് കീഴ്പെട്ടതോടുകൂടി സംസ്കൃതഭാഷ നിർജ്ജി വമായി ഗുരുകുലവിദ്വാദ്യാസ സമ്പ്രദായം നിലച്ചതോടെ ആ ആഡ്യഭാഷ മൃതപ്രായമാ വുകയും അതിലടങ്ങിയ വിജ്ഞാനങ്ങൾ വിസ്മൃതമാവുകയും ചെയ്തു. ഇന്ന് സ്ക്കൂൾ, കോളേജുകളിൽ പഠിപ്പിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രതത്വങ്ങളെല്ലാം ഇംഗ്ലീഷ് ഭാഷയിലായതുകൊണ്ട് അതെല്ലാം പാശ്ചാത്യരുടെ കണ്ടു പിടുത്തമാണെന്ന് നാം മിക്കവാറും ധരിച്ചിരിക്കയാണ്. സാധാർത്ഥ്യം അങ്ങനെയല്ല. പല ശാസ്ത്രസി ഡാന്തങ്ങളും യൂറോപ്യന്മാർ കണ്ടെത്തുന്നതിന് എത്രയോ മുമ്പ് - നൂറ്റാണ്ടുകൾക്കു മുമ്പ് ഭാരതീയർ കണ്ടുപിടിക്കുകയുണ്ടായിട്ടുണ്ട്. അക്കാലത്ത് ഭാരതത്തിലെഴുതപ്പെട്ട ഗ്രന്ഥങ്ങളെല്ലാം ആഢഭാഷയായ സംസ്കൃതത്തിലായിരുന്നു നാം ആ ഭാഷ കൈവിട്ട സ്ഥിതിയാണ് ഇന്ന് നിലനിൽക്കുന്നത്. ആയതിനാൽ ആ ഭാഷയിൽ എന്ത് മാത്രം എത മാത്രം മഹത്തരമായ സിദ്ധാന്തങ്ങളാണ് നിക്ഷിപ്തങ്ങളായിരിക്കുന്നതെന്ന് നാം അറിയു ന്നില്ല. സ്വദേഹം കാണാത്ത ആനയെപ്പോലെ നാം നമ്മുടെ ഔൽകൃഷ്ടം മനസ്സിലാ ക്കാതെ ശുഷ്കിച്ചിരിക്കയാണ്. ഗണിത ശാസ്ത്രത്തിന്റെ എല്ലാ ശാഖകളിലും ഗോളശാസ്ത്രത്തിലും നമ്മുടെ പൂർവ്വീകർ അദ്വിതീയരായിരുന്നു. പാടിഗണിതം (പലകയിലെഴുതി പഠിക്കൽ ധൂളി ണിതം തറയിൽ വിതറിയ പൊടിയിലെഴുതി പഠിക്കൽ) ബഗണിതം (ചരടു കൊണ്ടളന്നുള്ള പഠനം) എന്നീ പേരുകളിലറിയപ്പെട്ടിരുന്ന ഗണനങ്ങളിലൂടെ സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, ഹരണം, വർഗ്ഗം, വർഗ്ഗമൂലം, ഘനം, ഘനമൂലം എന്നീ പരികർമ്മാഷ്ടകം അവർ അഭ്യസിക്കയും അഭ്യസിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തുകൊണ്ട് നമ്മുടെ പൂർവ്വീകന്മാർ ശാസ്ത്രസേവനം ചെയ്തിരുന്നു. കേരളീയരായ ധാരാളം ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരും ഗണിതവിദഗ്ദ്ധന്മാരുമുണ്ട്. ധാരാളം ഗ്രന്ഥങ്ങൾ അവരാൽ വിരചിതമായിട്ടുമുണ്ട്. പല ഗ്രന്ഥങ്ങളും കണ്ടെത്താൻ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല. മറ്റു ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ അവയുടെ സൂചനയോ അവയിൽ നിന്നുള്ള ഉദ്ധര ണമോ കാണുന്നത് വഴി ആ ഗ്രന്ഥങ്ങളെക്കുറിച്ച് കേട്ടറിയാനിടയാകുകയാണ്. ആര്യഭടൻ, ബഹ്മദത്തൻ, ഭാസ്കരൻ 1, ഭാസ്കരൻ 2, കേളല്ലൂർ നിലകണ്ഠ സോ മയാജി, പരമേശ്വരൻ, മാധവൻ, ഗോവിന്ദസ്വാമി, ജ്യേഷ്ഠദേവൻ എന്നിവർ അറിയ ടുന്ന കേരളീയ ഗണിതശാസ്ത്ര പടുക്കളാണ്. ആര്യഭടന്റെ 'ആരാടീയം' സുപ്രസിദ്ധമാണ്. ഇന്ത്യയിലെ മിക്ക ഭാഷകളിലും അതിന് വ്യാഖ്യാനം എഴുതപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. പാശ്ചാതഭാഷകളിലേക്ക് അത് പരിഭാഷപ്പെടുത്തി യിട്ടുണ്ട് എന്ന വസ്തുത അതിന്റെ മഹത്വം വിളംബരം ചെയ്യുന്നു. കൊടുങ്ങല്ലൂർ സ്വദേശിയായ അല്ലെങ്കിൽ തമിലെ പൂങ്കുന്നത്തുകാരനായ ആ ടൻ ക്രിസ്ത്വബ്ദം 5 -ാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അത്വത്തിൽ തന്റെ ഇരുപത്തി മൂന്നാം വയസ്സിലാണ് ആ വിശ്വപ്രസിദ്ധഗ്രന്ഥം രചിച്ചത് ഭൂമിയുടെ ചലനത്തെക്കുറിച്ച് അദ്ദേഹം തന്റെ ഗ്രന്ഥ ത്തിൽ സൂചന നൽകിയിട്ടുണ്ട് എന്നത് പ്രത്യേകം പ്രസ്താവമാണ്. "യുക്തിഭാഷ ' എന്നൊരു വിശിഷ്ടമായ ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥം മലയാളത്തിൽ വിര ചിത്തമായിട്ടുണ്ട്. ഗണിതനായസംഗ്രഹം' എന്ന പേരിലും അറിയപ്പെടുന്നു അതിന്റെ കർത്താവ് ജ്യേഷ്ഠദേവൻ (സി 1500 - 1513) എന്ന പണ്ഡിതനാണ് കണക്കും ജ്യോതി ശാസ്ത്രവും അതിൽ പ്രതിപാദിച്ചിട്ടുണ്ട് പണ്ഡിതന്മാർ ശ്രേഷ്ഠഭാഷയായ സംസ്കൃത ത്തിൽ ഗ്രന്ഥരചന നടത്തിയപ്പോൾ ജ്യേഷ്ഠദേവൻ മലയാളഭാഷാ ടുത്തു. B [ 2 ] 2 ഭാരതീയ ഗണിക ചിക ശാസ്ത്രവിഷയങ്ങൾ മലയാളത്തിലും പ്രതിപാദിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് അദ്ദേഹം അതു വഴി തെളിയിച്ചു. മാത്രമല്ല യുക്തിഭാഷ സംസ്കൃതത്തിലേക്ക് പരിഭാഷപ്പെടുത്തുകയു ണിടായി എന്നത് ആ ഗ്രന്ഥത്തിന്റെ ഒരു വിശിഷ്ടതയാണ്. പല കാര്യങ്ങളിലും ഭാരതീയർ യൂറോപ്യന്മാരുടെ മുന്നിലാണ്. ചില ഉദാഹ രണങ്ങൾ 1. പാസ്കൽ (തികോണം 12-ാം നൂറ്റാണ്ടിലാണ് പാശ്ചാത്യർ കണ്ടെത്തുന്നത്. എന്നാൽ പത്താം ശതകത്തിൽ ഹലായുധൻ 'മേരുപ്രസ്താരം' എന്ന പേരിൽ ആ തത്വം വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ട്. പരിമേയ അളവുകളുള്ള ഭുജങ്ങളോട് കൂടിയ ത്രികോണങ്ങളുടെ നിർമ്മിതി ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ (7-ാം നൂറ്റാണ്ട്) വിവരിക്കുകയുണ്ടായി. പക്ഷെ 7-ാം നൂറ്റാണ്ടുകാരായ ബാച്ചറ്റ്, കൺവിക്കോ എന്നിവരുടെ കണ്ടുപിടുത്തമായി അതറിയപ്പെടുന്നു. 3. Nx2 + K = Y2 എന്ന രൂപത്തിലുള്ള രണ്ടാം ഘാതസമവാക്യങ്ങൾ നിർദ്ധാരണം ചെയ്യാനുള്ള മാർഗ്ഗം ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ കണ്ടെത്തി. ഭാസ്കരൻ അതിനെ പരിഷ്കരിക്കയു ണ്ടായി. എന്നാൽ ഇതിന്റെ വിശദാംശങ്ങൾ 1767ൽ ഫ്രഞ്ചുകാരനായ ലങ്ങ്ഗാങ്ങ് നൽകുകയുണ്ടായി. ഇന്നത് ലങ്ങ്ഗാങ്ങ്ഷെയുടെ പേരിൽ പ്രസിദ്ധമായിരിക്കുകയാണ്. PERMUTATION, COMBINATION സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ആദ്യം 5 6. 7. കണ്ടെത്തിയത് ഭാരതീയനായ മഹാവീരനാണ്. അത് ഹെറിഗോന്റെ പേരിൽ പ്രസിദ്ധമാ ഗ്രിഗറി സീരീസ് (Tan1 x) എന്ന ഒരു സംഖ്യാശ്രേണി സ്കോട്ട്ലണ്ടിലെ ജെയിംസ് ഗ്രിഗറി (1638 - 1695) എന്ന ഗണകൻ 1671 ലും ജർമൻകാരനായ ജി. ഡബ്ല്യു. ലിബ്നിസ് (1646 - 1716) എന്ന ഗണിതവിദ്വാൻ 1673 ലും പ്രസ്താവിക്കുകയുണ്ടായി. എന്നാൽ അതിന് മുന്നൂറ് കൊല്ലം മുമ്പ് സംഗമഗ്രാമമാധവൻ (1350 - 1410) ആ ശ്രേണികളെപ്പറ്റി വിസ്തരിച്ചിട്ടുണ്ട്. കാൽകുലസ് എന്ന ഗണിതശാഖയുടെ സഹായം കൂടാതെയാണ് മാധവൻ ഇത് കണ്ടെത്തിയത് എന്ന വിശേഷത കൂടിയുണ്ട്. ഭൂമിയുടെ ചലനത്തെപ്പറ്റി സൂചന നൽകിയ ആദ്യത്തെ ശാസ്ത്രകാരൻ ഭാരതീയ നായ ആര്യടനാണെന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടല്ലൊ. ല സ ഗു (LCM) കണ്ടുപിടിച്ചത് മഹാവീരനാണ്. അദ്ദേഹം അതിന് നിരുദ്ധം എന്ന് സംജ്ഞ നൽകി. പ്രസിദ്ധമായ പല കേരള ഗണിതശാസ്ത്രകൃതികളും കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. തന്ത്രസ മ്പ്രദായവും കരണസമ്പ്രദായവും രണ്ടും സാങ്കേതികമായി അംഗീകരിച്ചവയാണ്. ഈ ഗ്രന്ഥങ്ങൾ. ഇതിനും പുറമെ പുരാണഗ്രന്ഥങ്ങളുടെ വ്യാഖ്യാനഗ്രന്ഥങ്ങൾ വളരെ കണ്ടെടുത്തിട്ടുണ്ട്. കേരളം ആര്യഭടീയപക്ഷക്കാരായതിനാൽ വ്യാഖ്യാനം അധികവും ആര്വദടിയത്തിന്റേതാണ്. മഹാഭാസ്കരീയത്തിന്റേയും ലഘുഭാസ്കരീയത്തിന്റേയും വ്യാഖ്യാനങ്ങളും കണ്ടുകിട്ടിയിട്ടുണ്ട്. സുര്വസിദ്ധാന്തവും മഞ്ജുളന്റെ ലഘുമാനവും അവയുടെ വ്യാഖ്യാനഗ്രന്ഥങ്ങളും കണ്ടെത്തിയ ഗ്രന്ഥങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തിലുണ്ട്. ദ്വിതീ യഭാസ്കരന്റെ ലീലാവതിയാണ് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ കേരളത്തിൽ പ്രചാരത്തിലുള്ള ത്. ലീലാവതിക്ക് കേരളീയരാൽ ഒരു ഡസനോളം വ്യാഖ്യാനങ്ങൾ എഴുതപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. ഭാരതീയർ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ എത്ര ഉയർന്ന നിലവാരത്തിലാണ് പരിലസിച്ചി രുന്നതെന്നറിയുന്നതിന്ന് ആ ഗണനാ രീതിയുമായി നാം പരിചയപ്പെടുകയും ആംഗല ത്തിൽ പഠിച്ച ഗണനാരീതികളുമായി തുലനം ചെയ്യുകയും അനിവാര്യമാണ്. അതിന് സഹായകമാകുംവിധം, നിഷ്പ്രയാസം മനസ്സിലാക്കാവുന്ന ചില ഗണനങ്ങൾ മാത്രം ഇവിടെ ഞാൻ അവതരിപ്പിക്കയാണ് പുരാതന ഭാരതത്തിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാർ ഭാരതത്തിലെ ഗണിതശാസ്ത്രം ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടാണ് ആരംഭിക്കു ന്നത് പുരാതനകാലം മുതൽക്ക് തന്നെ ഭാരതീയരുടെ പുണ്യകർമ്മങ്ങൾ ശുഭമു 2 [ 3 ] ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക ഹൂർത്തങ്ങളിൽ നിർവ്വഹിക്കണ്ടവയാകയാൽ അവരുടെ ദൈനംദിന ജീവി തത്തിൽ ജ്യോതിഷവിചാരം അനിവാര്യമായിരുന്നു. ജ്യോതിഷത്തിന്റെ ജീവൻ ശുദ്ധ ണനമാണല്ലൊ. അങ്ങനെയാണ് ഗണനകല ഭാരതത്തിൽ പഴയകാലത്ത് തന്നെ വളരെ ഉയർന്നനിലവാരത്തിലെത്തിയത്. ക്രിസ്തുവിന് മുമ്പ് 3000 വർഷംവരെ പഴക്കം അവകാശപ്പെടാവുന്ന ഭാരതീയ വേദസാഹിത്യത്തിലും ബി.സി. 2000 വർഷം പഴക്കമുള്ള ബ്രാഹ്മണങ്ങളിലും ബി. സി 1000 വർഷം മുമ്പ് രചിക്കപ്പെട്ടതെന്ന് കരുതപ്പെടുന്ന വാത്മീകി രാമായണത്തിലും അക്കാലത്തെ ഗണിതശാസ്ത്രപുരോഗതിയുടെ സൂചനകളുണ്ട്. അർദ്ധം (പകുതി) ത്രിപാദം (നാലിൽ മൂന്നുഭാഗം, ത്വഷ്ടകം (എട്ടിൽ മൂന്ന് ഭാഗം) ദ്വീസപ്തമം ഏഴിൽ രണ്ട് ഭാഗം) എന്നീ ഭിന്നിതങ്ങൾ വേദങ്ങളിലുണ്ട്. വസ്തുമാനത്തിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ അളവ് പരമാണുവാണ്. അത് ഉദ്ദേശം ഒരിഞ്ചിന്റെ 1.3 കോടിയിലൊരംശം. ശത ബ്രാഹ്മണത്തിലെ പ്രസ്താവപ്രകാരം സമയത്തിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ ഘടകം ഒരു സെക്കന്റിന്റെ പതിനേഴിലൊരംശമായ പ്രാണമാണ്. ഭാരതത്തിലെ അറിയപ്പെടുന്ന ഏറ്റവും പഴക്കമേറിയ ജ്യോതിഷ കൃതിയാണ് വേദാംഗ ജ്യോതിഷം ലധനിയാണ് ഈ ഗ്രന്ഥത്തിന്റെ കർത്താവെന്ന് കരുതപ്പെടുന്നു. അതിലെ ഒരു വാക്യം ഇങ്ങനെയാണ്. 'ലധമഹർഷി പറഞ്ഞുതന്ന തുപോലെ ഞാൻ കാല പത്രത്തിൽ എഴുതുകയാണ്. ക്രിസ്തുവിന് മുമ്പ് 13-ാം നൂറ്റാ ണ്ടിലായിരിക്കണം ഈ ഗ്രന്ഥം രചിക്കപ്പെട്ടത് എന്ന് അയനചലനഗണനത്തിലൂടെ മന സിലാക്കാൻ കഴിയുന്നു. അന്ന് വരെ ലഭ്യമായ എല്ലാ ജ്യോതിഷ വിജ്ഞാനവും ഉൾക്കൊള്ളുന്നതാണ് ഈ ഗ്രന്ഥം. പ്രഗത്ഭരായ പല ജ്യോതിഷഗണന പണ്ഡിതന്മാരും ഭാരതത്തിൽ ജന്മം കൊണ്ടിട്ടു ണ്ട്. ആര്യഭടൻ 1, വരാഹമിഹിരൻ, ഭാസ്കരൻ, ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ, ഹരിദത്താചാര്യൻ, മഹാ വിരൻ, ആര്യഭടൻ 2, ശ്രീധരൻ, പത്മനാഭൻ, ശ്രീപതി, ഭാസ്കരൻ 2 നാരായണപി തർ, പരമേശ്വരൻ, മാധവൻ, നീലകണ്ഠൻ എന്നിവരാണ് അറിയപ്പെടുന്ന ഗണിതപണ്ഡി തന്മാരിൽ പ്രമുഖരായിട്ടുള്ളവർ. ഇവരിൽ മഹാവീരനും ഭാസ്കരൻ ദ്വിതീയനും പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധേയരാണ്. മഹാവീരൻ കർണ്ണാടകയിലെ രാഷ്ട്രകൂടരാജാവായ പതംഗന്റെ കൊട്ടാതരത്തി ലാണ് കഴിഞ്ഞു കൂടിയിരുന്നത്. അദ്ദേഹം ഒരു ജൈനമതവിശ്വാസിയായിരുന്നു അദ്ദേ ഹത്തിന്റെ രചനയാണ് മണി സാരസംഗ്രഹം. സംസ്കൃത ഭാഷയിൽ 1100 ശ്ലോകങ്ങളടങ്ങുന്നതാണ് ആ ഗണിതഗ്രന്ഥം. അതിന്റെ കയ്യെഴുത്ത് പ്രതി ലഭ്യമാണ്). സംഖ്യാപരിവർത്തനം - ചയം (PERMUTATION) സംഖ്യാമിശ്രണം (COMBINATION) എന്ന ശാഖയിൽ അദ്ദേഹ ത്തിന്റെ കണ്ടെത്തലുകൾ പ സ നീ യ ങ്ങളാണ്. 800 കൊല്ലങ്ങൾക്കുശേഷം മാത്രമാണ് ഈ ഗണിതവിഭാഗം യൂറോപ്പിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടത്. ഭാസ്കരൻ ദ്വിതീയൻ കർണ്ണാടകയിലെ ബിജഡവിഡം (ബീജപൂർ) എന്നിട ത്താണ് ജനിച്ചത് എന്ന് കരുതപ്പെടുന്നു. ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ കൃതിയാണ് പ്രസിദ്ധമായ ലീലാവതി. പേര് കേട്ടാൽ നോവലോ ജീവചരിത്രമോ എന്ന് തോന്നുന്ന ഈ കൃതി ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥമത്രേ. രചയിതാവിന്റെ വിധവയായ പ്രിയപുത്രി ലീലാവതിയുടെ പേരിൽ ഗ്രന്ഥം സമർപ്പിക്കപ്പെടുകയാണുണ്ടായത്. ഗ്രന്ഥമാകട്ടെ അതിബുദ്ധിമതിയായ തന്റെ മകളെ ഗണിതം അഭ്യസിപ്പിക്കുന്നതിന് വേണ്ടി ആചാര്യൻ നിർമ്മിച്ചതാണ്. ലീലാവതിയോട് ബന്ധപ്പെടുത്തി രസകരമായ ഒരു കഥയുണ്ട്. ഭാസ്കരാചാര്യൻ എവിടെ പോകുമ്പോഴും ലീലാവതിയെ കൂടെ കൂട്ടാറുണ്ട്. ഒരിക്കൽ പത്ത് വയസ്സുള്ള മകളേയും കൂട്ടി ആചാര്യൻ രാജസദസ്സിൽ ഹാജരായി. പല വിഷയങ്ങളിലും പ്രഗത്ഭ രായ പണ്ഡിതന്മാരും ധനികരായ പ്രഭുക്കളും ഹാജരാവാനുള്ള ആ സദസ്സിൽ പല ചർച്ചകളും നടക്കും. ഈ പ്രത്യേക ദിവസം ധനാഢ്യനായ ഒരു പ്രഭു അദ്ദേഹത്തിന്റെ പര്യടനത്തിൽ കണ്ട് ഒരു സംഭവം വിവരിക്കുകയുണ്ടായി. രണ്ടുവിഭാഗം തമ്മിലുള്ള പോരാട്ടമായിരുന്നു അത്. ഇരുഭാഗത്തും ഇരുന്നുറ് ഭടന്മാർ വീതമുണ്ടായിരുന്നു. രണ്ടു ഭാഗത്തുനിന്നും ഓരോരുത്തരായി വന്നു അടരാടി മരിച്ചു വീഴാൻ തുടങ്ങി. അങ്ങിനെ ഈരണ്ടുപേരായി എല്ലാ യോദ്ധാക്കളും മൃതിയടഞ്ഞു. അപ്പോൾ ഇരുഭാഗത്തേയും [ 4 ] ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക പ്രഭുക്കന്മാർ തന്നെ രംഗത്തിറങ്ങി. അവരും യുദ്ധം ചെയ്തു മരിച്ചുവീണു. എന്തിനാ യിരുന്നു ഈ യുദ്ധമെന്ന് ആർക്കും അറിഞ്ഞുകൂടായിരുന്നു. എനിക്കും അറിഞ്ഞു കൂടാ. പ്രഭു തുടർന്നു. ഈ സദസ്സിലുള്ള ആരെങ്കിലും ആ യുദ്ധം എന്തിനായി രുന്നുവെന്ന് പറഞ്ഞുതന്നാൽ കൊള്ളാം. ഇങ്ങനെയൊരു യുദ്ധം അസംഭവ്യമാണെന്നും ഇതൊരു കെട്ടുകഥമാത്രമാ ണെന്നും ഭാസ്കരാചാര്യൻ ഉൾപ്പെടെ സദസ്സിലുള്ള എല്ലാവരും അഭിപ്രായപ്പെട്ടു. എന്നാൽ കഥ പറഞ്ഞ പ്രഭു താനിത് നേരിൽ കണ്ടതാണെന്ന് തറപ്പിച്ചു പറഞ്ഞു. രംഗം നിരീക്ഷിച്ചുകൊണ്ടിരുന്ന രാജാവ് ഒരു തന്ത്രം പ്രയോഗിച്ചു. തർക്കവിഷയത്തെപ്പറ്റി ആചാര്യപുത്രിയായ കൊച്ചുകുട്ടിയുടെ അഭിപ്രായം ആരായാൻ നിശ്ചയിച്ചു. രാജാവ് തന്നെ ലീലാവതിയോട് ചോദ്യം ഉന്നയിച്ചു നിശ്ശബ്ദമായ സദസ്സിൽ ലീലാവതി എഴുന്നേറ്റുനിന്നു. ഈ യുദ്ധം സംഭവ്യം തന്നെ യാണ്. തത്തുല്യമായ ഒരു പോരാട്ടം ഞാൻ കണ്ടിട്ടുണ്ട്. ഒരേ നീളവും ഒരേ വണ്ണവും തുല്യ ശക്തിയുമുള്ള രണ്ടു സർപ്പങ്ങൾ തമ്മിൽ പൊരുതുകയുണ്ടായി. ആരും തോൽക്കുന്നില്ലെന്ന് കണ്ടപ്പോൾ അവ പരസ്പരം വാലിൽ കടിച്ചു വിഴുങ്ങാൻ തുടങ്ങി. ഒരു പാമ്പ് മറ്റൊന്നിനെ വിഴുങ്ങിയാൽ വിഴുങ്ങപ്പെട്ടത് അപ്രത്യക്ഷമാകും. മറ്റേത് ശേഷിക്കുമല്ലൊ. എന്നാൽ ഇവിടെ രണ്ടും അന്യോന്യം വിഴുങ്ങിയതിനാൽ രണ്ടു പാമ്പുകളും ഇല്ലാതായി. വിഴുങ്ങൽ മാത്രം അവശേഷിച്ചു. ഇത് സംഭവുമാണ്. അതു പോലെത്തന്നെയാണ് പ്രഭുവിന്റെ യുദ്ധക്കഥയും. സഭയിലുള്ളവരെല്ലാവരും കൈകൊട്ടിച്ചിരിച്ചു. പ്രഭു ഇളിഭ്യനായി. അതീവസന്തു ഷ്ടനായ രാജാവ് ലീലാവതിയെ അനുമോദിച്ചു. ഭാസ്കരന്റെ സിദ്ധാന്തശിരോമണിയുടെ ഒരു ഭാഗമാണ് ഈ ഗണിതഗ്രന്ഥമായ ലീലാവതി. 36-ാം വയസ്സിൽ രചിച്ച സിദ്ധാന്തശിരോമണിയിൽ ബീജഗണിതവും അല ആ ഗ്രഹഗണിതവും, ഗോളാദ്ധ്യായവും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അക്ബർ ചക്രവർത്തിയുടെ നിർദ്ദേശപ്രകാരം ഫൈസി എന്ന വിദ്വാൻ ലീലാവതി പേർഷ്യൻ ഭാഷയിലേക്ക് പരാവർത്തനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. ബീജഗണിതമാകട്ടെ പിൽക്കാ ലത്ത് ഷാജഹാൻ ചക്രവർത്തിയുടെ ഭരണകാലത്ത് അത്താവുള്ള വശീരി എന്ന പണ്ഡിതൻ പേർഷ്യൻ ഭാഷയിലേക്ക് മൊഴിമാറ്റം നടത്തുകയുണ്ടായി. അതിൽ രണ്ടാം നിരസമവാക്യങ്ങൾ (SECOND DEGREE EQUATION) ചാക്രികരീതിയിൽ (CYCLIC METHOD) നിർദ്ധാരണം (SOLVE) ചെയ്യുന്നതിനുള്ള മാർഗ്ഗം വിദഗ്ധമായ രീതിയിൽ ഭാസ്കരൻ ആവിഷ്കരിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഹെർമാൻ ഹെങ്കൽ (ഒറ്റ ചട്ട എന്ന സുപ്രസിദ്ധഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഭാസ്കരന്റെ ഈ ക്രിയാപാടവത്തെ അ യറ്റം പ്രശംസിക്കുകയുണ്ടായിട്ടുണ്ട്. ചില സംഖ്യാഗണങ്ങളുടെ (EXPRESSION) വർഗ്ഗമൂലം (SQUARE ROOT) കണ്ട ത്തുന്നതിൽ ഭാസ്കരൻ സ്വീകരിച്ച പ്രത്യേക രീതി വളരെ പ്രശംസനീയമാണ്. 189, 369 എന്നീ കോണുകളുടെ താനം (sine) വളരെ കണിശമായി ഭാസ്കരൻ തന്റേതായ പ്രത്യേകമാർഗ്ഗത്തിലൂടെ നിർണ്ണയിക്കുകയുണ്ടായി. ഗ്രഹചലനഗണനത്തിൽ അദ്ദേഹം അവലംബിച്ച് ഗണനസും പിൽക്കാലത്ത് 17-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ലിബ്നീസും (1664 1715) ന്യൂട്ടണും (1642 - 1727) ആവിഷ്കരിച്ചെടുത്ത കാൽകുലസ് എന്ന ഗണിതശാ വക്കുള്ള ബീജം ഉൾക്കൊണ്ടിരുന്നു എന്ന വസ്തുത അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഗണന ന പുണ്യം വിളിച്ചോതുന്നുണ്ട്. ഭാസ്കര കൃതികൾക്ക് പിൽക്കാലത്ത് ധാരാളം വ്യാഖ്യാനം ന്ഥങ്ങൾ രചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട് എന്നതും അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഔന്നത്യം വെളിപ്പെടുത്തുന്നു. 14-15 നൂറ്റാണ്ടിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഗണിത പണ്ഡിതനായ പരമേശ്വരൻ ചാക്രിക ചതുർദുജത്തിന്റെ (CYCLIC QUADRILATERAL) പഠനത്തിൽ കണ്ടെത്തിയ തത്വങ്ങൾ 1782 ലാണ് യൂറോപിൽ ലീഗങ്ങിയ പുനപ്രഖ്യാപനം ചെയ്തത്. അതുപോലെ പല ഗണിത സിദ്ധാന്തങ്ങളും ഭാരതത്തിൽ പൊതുവിലും കേരളത്തിൽ പ്രത്യേകമായും നമ്മുടെ പൂർവ്വീകർ പ്രസ്താവിച്ചു നുറ്റാണ്ടുകൾക്ക് ശേഷമാ യൂറോപ്പിൽ അവരുടെ കണ്ടു പിടുത്തമായി പ്രസിദ്ധപ്പെടുത്തിയത്. ഭാരതത്തിൽ മദശയിൽ അറബി 4 [ 5 ] ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക പേർഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരുമായുണ്ടായ സമ്പർക്കത്തിലൂടെ ചില നൂതന തത്വ ങ്ങളും ഗണനരീതികളും അന്വോന്യം ശാസ്ത്രത്തിന് മുതൽക്കൂട്ടായിട്ടുണ്ടെന്നുള്ള യാഥാർത്ഥ്വവും ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ സ്മരണീയമാണ്. ഗണിതത്തിന്റെ എല്ലാ ശാഖകളിലും ഭാരതീയർ തൽപരരായിരുന്നുവെന്നു മാത്രമല്ല പ്രശസ്തമായ വിധം അവരുടേതായ വിലപിടിച്ച സംഭാവനകൾ ഓരോ ശാഖക്കും നൽകുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. വ്യക്തഗണിതം (ARITHMATIC), അവ്യക്തഗണിതം (ബീ (GEOMETRY), അതിന്റെ അഞ്ചുശാഖകളായ തലക്ഷേത്രമിതി (PLAIN GEOMETRY), ഘനക്ഷേത്രമിതി (SOLID GEOMETRY), ത്രികോണമിതി (TRIGONOMETRY), പാപിയ micaɔmall (SPHERICAL TRIGONOMETRY) Benjamimo (CONICS ANALYTICAL CONICS) കാൽക്കുലസ് ഭേദസൂചകവും (DIFFERENTIAL) ഉൽ നവും (INTEGRAL) ലോഗരിതം, ബൈനോമിയൽ തിയറം എന്നിവയെല്ലാം നമ്മുടെ മുതൽക്കൂട്ടാണ്. എല്ലാം നമ്മുടെ പുരാതന ഗണിതഗ്രന്ഥങ്ങളിലുണ്ട്. ആര്യഭടന്റെ കൃതി യാണ് ഇന്ത്യയിൽ കണ്ടെത്തിയിട്ടുളളതിൽ ഏറ്റവും പഴക്കമേറിയ ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥം. (അദ്ദേഹം കലി 3577 ൽ പാടലീപുത്രത്തിൽ ജനിച്ചു എന്നും കാണുന്നു. ഭ്രമണം ആര്യദടൻ കണ്ടെത്തിയെന്ന് സൂചനയുണ്ട്. അറബികളും ഭാരതീയരും പരസ്പരം സമ്പർക്കം പുലർത്തുകയും അന്യോന്യം ഉപഭോക്താക്കളായിത്തീരുകയും ചെയ്തു വെന്നും മുമ്പേ സൂചിപ്പിച്ചുവല്ലോ. ആര്യഭടീയവും അറബികൾ പഠിച്ചു സ്വായത്തമാക്കി യെന്ന് കരുതേണ്ടിയിരിക്കുന്നു. അർജ്ജബഹർ എന്ന് അറബിഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ സുചിപ്പിക്ക പെടുന്ന വ്യക്തി ആര്യഭടനായിരിക്കാൻ സാദ്ധ്യതയുണ്ടെന്ന് അഭിജ്ഞന്മാർ അഭിപ്രായപ്പെ ടുന്നു. അറബികളിൽ നിന്ന് അത് യൂറോപ്പിലേക്ക് സംക്രമിച്ചപ്പോൾ ആ നാമം ആർ ബിയസ് (ARDUBRIUS) എന്നായി തീർന്നുവെന്നും പറയപ്പെടുന്നു. ഗ്രന്ഥം മൂന്നു പകർത്തുമ്പോൾ മുഹൂർത്തം മൂത്രമായ് വരും എന്നാണല്ലൊ ശാസ്ത്രം, ആര്യഭടന്റെ വ്യാഖ്യാതാവായ ഭാസ്കരൻ ദ്വിതിയൻ ഉദാഹരണമായി ഒരു പ്രശ്നം ഉന്നയിക്കുകയുണ്ടായി. 8 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ 5 ബാക്കി വരുന്നതും 9 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ 4 ബാക്കി വരുന്നതും 7 കൊണ്ടുഹരിച്ചാൽ 1 ബാക്കി വരുന്നതുമായ സംഖ്യയേത്? ഇത് കുട്ടകം എന്ന പ്രത്യേക വകുപ്പിൽ പെട്ട ഒരു കണക്കാണ്. അതിന്റെ പൊതുരൂപം ax + c = by +c= എന്നാണ്. ഇവിടെ a, b, c എന്നിവയുടെ വില അറിയാം. x, y എന്നിവയുടെ വില കണ്ടുപിടിക്കണം. ശ്രമകരമായ ഒരു ഗണനസർക്കസ്സാണിത്. മേൽകണക്കിന്റെ ഉത്തരം ച ആണെങ്കിൽ മറ്റൊരുദാഹരണം N=8x+5=9y+4=7z+1 N = 85 2, 3, 4, 5, 6 എന്നീ സംഖ്യകളെക്കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 1 ബാക്കി വരുന്നതും കൊണ്ടു ബാക്കി വരാതെ ഹരിക്കാവുന്നതുമായ സംഖ്യയേത്? ഇതും കുട്ടകകുലത്തിൽപ്പെട്ട ഗണനമാണ്. സാധാരണഗതിയിൽ 2, 3, 4, 5, 6 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ അധമ സാധാരണഗുണിതം (LCM) കണ്ടു അതിനോട് ചേർത്താൽ ആ സംഖ്യ ആദ്യലക്ഷണം ഒത്തതായി. അങ്ങിനെ ആ ലക്ഷണമൊത്ത അനേകം സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്താം. അതിൽ ചിലത് മാത്രമേ 7 ന്റെ ഗുണിതമാകയുള്ളു. അത് പരിശോധന കൊണ്ടു കണ്ടെത്തണം. അങ്ങനെ പലസംഖ്യകൾ കണ്ടെത്താം. എണ്ണമറ്റ സംഖ്യകളുണ്ട് 2, 3, 4, 5, 6 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ അസി (LCM) 60 ആണ്. അതിനോട് ചേർത്താൽ 61. അല്ലെങ്കിൽ 60 ന്റെ ഏത് ഗുണിതത്തോടും 1 ചേർക്കുക. അവ 151 [ 6 ] യെല്ലാം ആദ്യലക്ഷണമുള്ളവയാണ്. ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക 60 x 1 + 1 61 60 x 7 + 1 -421 60 x 2 + 1 121 60 x 8+1 -481 60 x 3+1 181 60 x 9 1 -541 60 x 4+1 241 60 x 10 + 1 -601 60 x 5+1 301 60 x 11+1 -661 60 x 6+1 361 60 x 12 + 1 -721 ശിഷ്ടം ഇനി ഈ ആദ്യലക്ഷണമൊത്ത സംഖ്യകളിൽ ഏതെല്ലാം സംഖ്യകൾക്ക് രണ്ടാം ലക്ഷണമുണ്ടെന്ന് പരിശോധിച്ച് കണ്ടുപിടിക്കണം. 61 8 121 17 25 5260 481 68 541 77 601 85 7 241 34 3 661 94 301 43 0 2 9 721 103 3 ° 361 51 7 421 60 781
- 1
111 7 841 120 7 ഇങ്ങനെ സംഖ്യകൾ പരിശോധിക്കുമ്പോൾ ഒരു പൊതുസ്വഭാവം ആവർത്തിക്കുന്നത് കാണാം. 7 കൊണ്ടുഹരിക്കുമ്പോൾ ബാക്കി വരുന്നത് 4, 1, 5, 2, 6, 3 എന്നീ 6 സംഖ കളുണ്ട്. അടുത്ത സംഖ്യയിൽ ബാക്കി വരുന്നില്ല. വീണ്ടും അടുത്ത ആറ് സംഖ്യകളിൽ 4, 1, 5, 2, 6, 3 എന്നിവ തന്നെ ക്രമത്തിൽ ബാക്കി വരുന്നു. ഏഴാമത്തേതിൽ ബാക്കി വരുന്നില്ല. ഇങ്ങനെ ആറ് സംഖ്യകൾ ഇടവിട്ടാണ് 7ന്റെ ഗുണിതം വരുന്നത് അപ്പോൾ രണ്ടുലക്ഷണങ്ങളും തികഞ്ഞ ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ 301 ആണ്. അടുത്തത് അടുത്തത് 301 + 60 x 7 721 + 60 x 7 1141 60 x 7 + 721 1141 1561 ഇങ്ങനെ 120 കുട്ടിക്കുട്ടി എണ്ണമറ്റ സംഖ്യകൾ രണ്ടുലക്ഷണങ്ങളും ചേർന്നതായു ണ്ടെന്ന് കാണാം. അപ്പോൾ അതിന്റെ പൊതുരൂപം 301 + 420n എന്ന് സിദ്ധിക്കുന്നു. മന് , 1, 2 എന്നിങ്ങനെ വില കൽപ്പിച്ച് സംഖകൾ കണ്ട A. ഗ് എന്ന മുസ്ലീം ഗണിത പണ്ഡിതൻ ചൂണ്ടിക്കാട്ടുന്നു. ഭാസ്കരൻ പ്രഥമൻ കയ്യാളിയ ഈ ഗണന പ്രശ്നം അതിനുശേഷം ഇബ്നുൽ ഹൈത്തം AD 1000 ലിയോടെ ഫിബോനാച്ചി (1902) 17-ാ ം നൂറ്റാണ്ടിൽ വേറെ രണ്ടുപേർ ഇവരെല്ലാം കൈകാര്യം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. - അനന്തരം ബേയ്ക്ക് ഗ്രഹചലനങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി ഇത്തരം ഗണന ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ചില പ്രശ്നങ്ങൾ ഉദാഹരണമായി എടുത്തു കാണിക്കുകയും 6 [ 7 ] ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക ആദ്വദടൻ | (476 AD) ഭൂമി ഗോളമാണെന്ന് ധൈര്യസമേതം പ്രസ്താവിക്കുകയു ണ്ടായി. ഗോളപാദത്തിൽ ആ പ്രഗത്ഭൻ പറയുന്നു: ഭൂഗോളം സർവ്വതോ വൃത്തി ഭൂമി പരന്നതാണെന്ന് വിശ്വസിക്കുന്ന ഒരു ലോകത്തോടാണ് ഇത് പറയുന്നതെന്നോർക്ക ണം. പപ്പൻ ഭൂമി സംഘടന (FLAT EARTH SOCIETY) ഇന്നും ഉണ്ട്. ഭൂമി അനങ്ങാതെ നിൽക്കുകയാണെന്നും ആകാശത്തിലുള്ള ഗ്രഹനക്ഷത്രാദികൾ ഭൂമിയെ ചുറ്റുകയാണ ന്നുമുള്ള ധാരണ നിലനിന്നിരുന്ന ആ കാലഘട്ടത്തിൽ ഇത് പറയാൻ നല്ല നട്ടെല്ല് വേണം. സൂര്യാഭിമുഖമായ അർദ്ധഭൂമിമാത്രം പ്രകാശിതമാണെന്നും മറ്റേ അർദ്ധഭാഗം അന്ധകാരത്തിലാണെന്നും ധീരമായി പ്രഖ്യാപിച്ച ആദ്യഭാരതീയനായ ആര്യഭടൻ. പക്ഷെ നക്ഷത്രങ്ങൾ സ്വയം പ്രകാശമുള്ളവയല്ലെന്നും അദ്ദേഹം കുട്ടത്തിൽ പറഞ്ഞു കളഞ്ഞു. കഥ ഇവിടെ അവസാനിക്കുന്നില്ല. അക്കാലത്ത് അസഹ്യവും വിപ്ലവാത്മക വുമായ ഒരാശയവും കൂടി അദ്ദേഹം പ്രഖ്യാപിച്ചു. ഉദയാസ്തമനങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നത് ഭൂഭ്രമണം മൂലമാണെന്ന്, അചലാനി ജാതി സമപശ്ചിമാനി (ഗോളപാദം) 7-ാം നൂറ്റാ ണ്ടിലെ ഗോളശാസ്ത്രപണ്ഡിതനായ ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ (628) വ്യാഖ്യാതാവായ പ്രസുദ കസ്വാമി (860) ആര്യദാസിദ്ധാന്തം ശരിവെക്കുകയുണ്ടായി. രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിലെ പ്രസി വാനശാസ്ത്രജ്ഞനായ ട്ടോളമിയും (ബീമുമ്പ്) ഭൂമി അചലമെന്ന അഭിപ്രായക്കാ രനായിരുന്നു എന്നോർക്കുക. ഭാരതീയ ഗണിതം സംസ്കൃതത്തിലാണ്. അതിനൊരു പ്രത്യേകതയുണ്ട്. എണ്ണ ങ്ങളും സംഖ്യകളും കൃത്യമായി സ്മൃതിപഥത്തിൽ ശേഖരിച്ചുവെക്കാനും ആവശ്വം നേരി ടുമ്പോൾ പ്രമാദരഹിതമായി ഉപയോഗപ്പെടുത്താനും എളുപ്പമുള്ള രീതിയിലാണ് സംസ്കൃതത്തിൽ അവ നിബന്ധിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്. എല്ലാ സംഖ്യകളും ശ്ലോകരൂപ ത്തിൽ രേഖപ്പെട്ടിരിക്കയാൽ ഉരുവിട്ടു മനഃപാഠമാക്കാനും തെറ്റുപറ്റാതെ ആവർത്തി ക്കാനും എളുപ്പമാണ്. ഒരു ഉപാധിയുണ്ട്. ശ്ലോകങ്ങൾ അക്ഷരങ്ങളാണല്ലോ. സംഖ്യകളെ അക്ഷ രങ്ങളാക്കി മാറ്റിയിട്ടാണ് ശ്ലോകം രചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്. വീണ്ടും ആ അക്ഷരങ്ങളെ സംഖ്യകളാക്കി പരിവർത്തിക്കണം. ആ കർമ്മം ഉപയോക്താവ് നിർവ്വഹിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആകയാൽ ആ അക്ഷരസംഖ്യബന്ധം ആദ്യം അറിഞ്ഞിരിക്കയും പരിശീലിക്കയും ചെയ്യേണ്ടത് അനിവാര്യമാണ്. കടപയാദി എന്ന സംജ്ഞാനാമത്തിൽ അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു സംഖ്യാക്ഷരസമ്പ്രദായ മാണ് കേരളത്തിൽ നടപ്പുള്ളത്. ആ സമ്പ്രദായം താഴെ വിവരിക്കുന്നു. ഭാഷയിലുള്ള സ്വരവ്യഞ്ജനാക്ഷരങ്ങൾക്ക് ഒരു വിലകൽപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. 1 മുതൽ 9 വരെയും പൂജ്യവുമാണ് അക്ഷരത്തിന് കൽപ്പിച്ചിട്ടുള്ളത്. അതിന്റെ പട്ടിക താഴെ കൊടുക്കുന്നു. 1 S 2 3 4 .5 6 S 613 al (19 3 9 @ 6 8 9 0 50 B w Be 23 B 90 ഒരക്കത്തിന്റെ താഴെ കാണുന്ന എല്ലാ അക്ഷരങ്ങൾക്കും ആ അക്കത്തിന്റെ വില യാണ്. ഒന്ന് മുതൽ അഞ്ച് വരെ വിലയുള്ള നന്നാലക്ഷരങ്ങളും ആറ് മുതൽ ഒമ്പത് വരെ മുമ്മൂന്നക്ഷരങ്ങളുമുണ്ട്. ഒരേ വിലയുള്ള എല്ലാ അക്ഷരങ്ങളേയും കുട്ടിച്ചേർത്ത് ഒരു വായ്ത്താരുണ്ടാക്കിയിട്ടുണ്ട്. ഹൃദിസ്ഥമാക്കാനുപയുക്തമായ ആ വായ്ത്താര് ഇങ്ങനെയാണ് .7 [ 8 ] ഭാഗീയ ഗണി സൂചിക 1 - ഖാഫ ഗഡ ബല ഇവ 1 2 3 4 5 അന 6 = 8 9 0 വനത്തോട് ഏതു സ്വരം ചേർന്നാലും വിലമാറുകയില്ല. ഉദാ: കൊ, പ യു . ഇവയെല്ലാത്തിന്റേയും വില 1 തന്നെ. കൂട്ടക്ഷരങ്ങളിൽ ഒടുവിലെ അക്ഷരം പ്രാമാണികം. ഉദാ: സ - പ = 1; - ഷ - 5; ല്ലി - ല = 3. അ മുതൽ വരെ എല്ലാ സ്വരങ്ങളുടേയും വില ശൂന്യം. 9, 6 എന്നിവയും ജന്യം ൽ, ൾ ൾ, ൺ ൻ എന്ന് ചില്ലുകൾക്ക് വിലയില്ല. . തനിച്ചു കണ്ടാൽ ശൂന്യം; കൂട്ടക്ഷരത്തിന്റെ ഒടുവി ലായാൽ ഫത്തിന്റെ വിലയായ 2 കൽപിക്കണം. ചില്ലുകൾ രണ്ടുതരത്തിൽ ഉപയോ ഗിക്കുന്നുണ്ട്. പാൽ, പാല്. ഇവയിൽ ൽ = 0; ല് - ല = 3. കവർഗ്ഗം - 1) കവർഗ്ഗം 2; വർഗ്ഗം = 3; ക്വവർഗ്ഗം = 4. ഒരു പദം വിലനിർണ്ണയം ചെയ്തു. സംഖ്യയാക്കുമ്പോൾ വലത്തുനിന്ന് എടത്തോ ട്ടാണ് എടുക്കേണ്ടത്. പുരാതനകാലത്ത് അക്കങ്ങൾ എഴുതുന്നതിന് പകരം കവടി നിർത്തുകയായിരുന്നല്ലോ പതിവ്. ഒരക്ഷരത്തിന്റെ വിലയുടെ എണ്ണം കവടികൾ വലത്തെ അറ്റത്ത് വെക്കുന്നു. അടുത്ത അക്ഷരത്തിനുള്ള കവടികൾ അതിന്റെ എടത്ത് ഭാഗത്ത് വെക്കുന്നു. ഇങ്ങനെ എടത്തോട്ടേക്ക് സംഖ്യ വളരുന്നു. അതായത് ആദ്യക്ഷരം ഒന്നാം സ്ഥാനത്തും അടുത്ത അക്ഷരം പത്താം സ്ഥാനത്തും പിന്നത്തേ അക്ഷരം നൂറാം സ്ഥാനത്തും ഇങ്ങനെ അക്കങ്ങൾ ക്രമേണ എടത്തോട്ട് വളർന്ന് ഉദ്ദിഷ്ടസംഖ്യയായിത്തീരുന്നു. അങ്കാനാം വാതോയി എന്ന് ശാസ്ത്രം. - ജ്യോതിർഗുണനത്തിൽ എപ്പോഴും ഉപയോഗത്തിൽ വരുന്ന നിരവധി വലിയ സംഖ കളുണ്ട്. ഈ സംഖകൾ സംഖ്യകളായി ഹൃദിസ്ഥമാക്കുക ശ്രമകരമാണല്ലൊ. അതിന് ഭാരതീയർ കണ്ടുപിടിച്ച സമർത്ഥമായ പരിഹാരമാണ് അക്ഷരസംഖ്യാസമ്പ്രദായം. സംഖ്യക്ക് പകരമായി അനുയോജ്യമായ പദമോ വാക്യമോ നിർമ്മിക്കുന്നു. ഉദാ: B3 B4; 2; 6 ഭാരതം - 624 - ഭാരതം കേരളം - 921 3 കേരളം 5; 6; 84; 9 - 5 മാതൃഭൂമി 2 5465 - മാതൃഭൂമി മേൽ സൂചിപ്പിച്ച സംഖ്യാക്ഷരപദ്ധതിയിൽ ഭാരതീയർ വേറേ ചില തന്ത്രങ്ങൾ പ്രയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട്. ചില സംഖ്യകൾക്ക് പകരം പ്രത്യേകമായ സാങ്കേതിക പദങ്ങൾ ഉപ യോഗിക്കാറുണ്ട്. ഉദാഹരണമായി 3 എന്നതിന് പകരമായി കാലം എന്ന പദം പ്രയോ ഗിക്കും. വർത്തമാനം, ഭാവി, ഭൂതം എന്നിങ്ങനെ കാലം "മൂന്നാണല്ലൊ. അപ്രകാരം എന്നതിന് പകരം വേദം എന്ന പദം പ്രയോഗിക്കും. ഋഗ്വേദാദി വേദങ്ങൾ നാലാണ് അതേപോലെ 5 ന് പകരമാണ് പാണ്ഡവർ. പാണ്ഡവർ അഞ്ചുപേരെന്ന് പ്രസിദ്ധ മാണല്ലൊ. ഇപ്രകാരം പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്ന സംഖ്യാ സൂചകപദങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക താഴെ കൊടുക്കുന്നു. ഒരേ സംഖ സൂചിപ്പിക്കുന്നതിന് ഒന്നിലധികം പദങ്ങളുണ്ട് എന്നതും ശ്രദ്ധേയമാണ്. അവയിൽ പലതും പര്യായ പദങ്ങളാണ്. വിഷ്ണുപദം, വ്യോമം. കു, ഭൂമി, ശശി, ആദി, റോ, ഐരാവതം, ഹിമ , കലാധരൻ, വിധു, ഇന്ദു 2 8 [ 9 ] 3 = 5 6 7 8 g 10 5 കുലം, ബാഹു. ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക ഗുണം, അഗ്നി, ഭുവനം, കാലം, രാമൻ, പുരം, രത്നം, ലോകം, ദോഷം, മൂർത്തി, ശൂലം, വേദം, ശ്രുതി, സമുദ്രം, വർണ്ണം, ആശ്രമം, യുഗം, കേന്ദ്രം, തുര്യം, ഉപായം, പുരുഷാർത്ഥം, ബാണം, ശരം, ഇഷു, ഇം, പർവ്വം, പ്രാണം, പവനൻ, പാണ്ഡവൻ, വിഷയം, ഇന്ദ്രിയം, വ്രതം, ലോഹം, അർത്ഥം, രത്നം. രസം, രാഗം, ഋതു, ശാസ്ത്രം, തർക്കം, അംഗം, ദർശനം, ഷൺമുഖൻ, കാരകം, ദ്രവ്യം. നഗം, അഗം, പർവ്വതം, ഭൂത്ത്, ഋഷി, മുനി, സ്വരം, ധാതു, അശ്വം, വ്യസനം, വാരം, ജ്വാല, വസു, നാഗം, ഇഭം, ഗജം, സർപ്പം, ദിഗ്ഗജം, അംഗം, ഐശ്വര്വം, അഹി അനുഷ് STIC നന്ദൻ, നിധി, ഗ്രഹം, രന്ധ്രം, രത്നം, രസം, ദുർഗ്ഗ, ധാന്യം, അങ്കം, രാവണശിരസ്സ് രുദ്രൻ, ഭവൻ, ഈശ്വരൻ, അക്ഷൗഹിണി, ഹരൻ, രവി, ഇനൻ, മാസം, രാശി വിശ്വം, കാമൻ, വിശ്വദേവൻ, മനു, ഇന്ദ്രൻ, ലോകം, വിദ്യ, കൻ 11 12 13 14 15 തിഥി, പക്ഷം, ദിനം 16 17 18 19 - 20- 21 22 = പൻ, അഷ്ടി അതിഷ്ടി ധൃതി, പുരാണം അതിതി നഖം, കൃതി ഉൽകൃതി, പ്രകൃതി, സ്വർഗ്ഗം വികൃതി 23 24- ജിനം, അർഹം, സിദ്ധം, ഗായത്രി 25 27 - 32 33 ദം, ഉഡു, നക്ഷത്രം രതം, ദന്തം സുരൻ, ദേവൻ 48- ജഗതി 49- സംഖ്വാക്ഷരസുതം പ്രയോഗിച്ച് ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ 1. വത്സരബന്ധം 9 കൊല്ലത്തിൽ തളാംഗത്തെ ട്ടുമ്പോൾ കലിവത്സരം കൊല്ലത്തിൽ ശരം കുട്ടി ക്രിസ്ത്വബ്ദം കണ്ടുകൊള്ളണം [ 10 ] കൊല്ലവർഷം തരളാംഗം കലിവര കൊല്ലവർഷം ക്രിസ്ത്വബ്ദം 2. കൊല്ലം വെച്ചു സഭാസ്ഥാനം കൂട്ടിയാൽ ശകവത്സരം അതിൽ കൂട്ടു ധീയോഗം എന്നാൽ കല്യാബ്ദമായ് വരും കൊല്ലവർഷം ഭാരതീയ ഗണിത ചിക 11711 3926 5097 1171 825 1996 സഭാസ്ഥാനം ധിസ്ഥയോഗം കലിവത്സരം 1171 747 1918 3179 5097 കലിവത്സരം ശ്രീകൃഷ്ണഭഗവാൻ സ്വർഗ്ഗാരോഹണം ചെയ്തതിന്റെ പിറ്റെ ദിവസം മുതൽ ആരംഭിക്കുന്നു. 'ആചാരവാദ' എന്ന് കലിവാക്യം. കലിവർഷം തുടങ്ങി 1434260 ദിവസം കഴിഞ്ഞപ്പോൾ അനാചാരങ്ങൾ ഏർപ്പെടുത്തി. ഇതിനോട് 2.17 കുട്ടി 365,2587565 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 3926 ഹരണഫലവും 156 ശിഷ്ടവും കിട്ടും. മുൻ മേടം 1-നു് പൂർണ്ണമായും കഴിഞ്ഞ കലിവർഷമാണ് 3926. പിന്നീടു കഴിഞ്ഞദിവസം 156. അപ്പോൾ കന്നി 13ന് യാകും. അതാണ് മലബാർ കൊല്ലവർഷാരംഭം. (ശങ്കരാ ചാര്യർ അനാചാരം ഏർപ്പെടുത്തിയതാണ് കൊല്ലവർഷത്തിന്റെ ഉത്ഭവകാരണമെന്ന് കേരളോൽപത്തിയിൽ - മംഗലാപുരം പതിപ്പിൽ - രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. കൊല്ലവർഷം ചിങ്ങം 1 ന് ക്ക് എ.ഡി. 825 ആഗസ്റ്റ് 15 ന് യാകും. ഉദയമാർത്താണ്ഡ വർമ്മ രാജ തുടങ്ങിയതാണ് കൊല്ല വർഷം എന്ന് പ്രൊഫസ്സർ ശ്രീ. പി. ശങ്കുണ്ണി നായർ ജയകേരളം വാർഷികം 1956). 3. ഇംഗ്ലീഷ് മാസങ്ങളുടെ തിയതിക്രമം പലഹാരേപാലുന് പുലർന്നാലോ കലക്കിലാം ഇല്ല പാലെന്ന് ഗോപാലൻ ആംഗമാസദിനം ക്രമാൽ. പല ഹാ പാലു പുലർ ക്കിലാം ഇ പാല പാലൻ 4. മലയാളമാസം തീയതി കല്ലു നല്ല നിലം ന് ധീരനെല്ലാം ധരിക്കിലോ 31 ജനുവരി 28 ഫെബ്രുവരി 31 മാർച്ച് 30 ഏപ്രിൽ 31 cool 30 ജൂൺ 31 ജൂലായ് 31 ആഗസ്റ്റ് 30 സെപ്തംബർ 31 ഒക്ടോബർ 30 നവംബർ 31 ഡിസംബർ 10 [ 11 ] പുല്ലായാലും യോഗഫലം ചിങ്ങം തൊട്ടുരിക്കടോ നിലം കിലോ പുല്ലാ താലും 33 വൃശ്ചികം 30 മകരം 31 മീനം 31 €950 31 മിഥുനം 32 കർക്കിടം ധരിക്കെടോ = 1129 ഈ വർഷത്തെ ദ്വിനസംഖ മലയാളമാസങ്ങൾക്ക് നിശ്ചിതമായ ദിനക്രമമില്ല. കൊല്ലംതോറും മാസ ദൈർഘ്യം മാറി ക്കൊണ്ടിരിക്കും. അതിനാൽ ഓരോ വർഷവും സുരഗതി ഗണിച്ച് മാസദിനസംഖ്യ നിർണ്ണയിക്കയാണ് പതിവ്. 5. പ്രകൃതി സംഖ്യാവർഗ്ഗങ്ങൾ (ടിഡി കിം, വാ, ധനം, തപോ, മിത്രം തുലാ, ധവ, കൃതി, പദം, ഏകാദിനവപര്യന്തം വർഗ്ഗസംഖ്യാ ഇതിരിക്കാം. കി ധനം 1 4 22 9 32 16 42 25 52 36 62 49 73 64 8° 81 92 6. പ്രകൃതി സംഖ്യാഘനങ്ങൾ (CUBES) വാ, ദാനം സുഖം വിത്തം ലവം പ്രാപണം ധീര സുദിവം പുനഃ ക്രമാൽ B സുഖം 27 വിം 64 ശരണ 125 216 343 പ്രാപണം 512 11 [ 12 ] ധീരനു 7. ചില പൊടികൾ 729 9' കൈക്കുളങ്ങര രാമവാര്യരും പുന്നശ്ശേരി നമ്പി നീലകണ്ഠശർമ്മയും അഭിമുഖം ശാസ്ത്രസംബന്ധമായി പലതും സംസാരിച്ചുകൊണ്ടിരുന്നത് നമ്പിയുടെ ശിഷ്യന്മാർ കേട്ടു അത്ഭുത പ്പെട്ടുകൊണ്ടിരുന്നു. ആരാണ് അധികം ബുദ്ധിമാനെന്ന് അവർ അന്യോന്യം തർക്കിച്ചു. നമ്മുടെ ഗുരുനാഥൻ നമ്പി തന്നെ എന്ന് ഒരു ശിഷ്യൻ പറഞ്ഞു ഇത് കേൾക്കാനിടയായ വാരിയർ കുട്ടികളോട് താൻ പറയുന്നതിന് കവടി നിരത്താൻ പറഞ്ഞു. അദ്ദേഹം ചൊല്ലി ഉണ്ടായി രണ്ടു വിദ്വാന്മാർ നന്ദിയും രാമവാര്യരും അത് കൂട്ടാൻ പറഞ്ഞു സുത്രത്തിൽ ഝലി തർക്കിച്ചാൻ ഏത് കിഴിക്കാൻ പറഞ്ഞു കിഴിച്ചപ്പോൾ ബുദ്ധിമാൻ വാര്യരാണ് പോൽ 8. മേൽപത്തൂരിന്റെ കലിദിനം നദിപുഷ്ടിരഹസ്വാനു 0811 27 10 നഹസാരം പയോജനി 017 21180 നിജാൻ കൂടിയാൽ സായാഹ്ന 0 8 11 2 7 10 നഷ്ടാർത്ഥാ പ്രവർജ്ജനാ 01 7 21 18 0 9. മലയാളമാസിന സംഖ്യ 5 4 4 1 2 1 1 0 22452110 76 8 6 4 2 20 6 16 39 6 27 15224593 786 മിഥുനമാസത്തിൽ ഭാരതപ്പുഴ കവിഞ്ഞൊഴുകി വിധു 31 62 9 4 125 156 €250 (31) എടവം (32) മിഥുനം (31) കർക്കിടകം (31) 186 (30) 216 2 4 6 (30) (30) വൃശ്ചികം 275 (29) 3 0 5 (30) മാല 365 ഇതജാ (30) മാർഗ്ഗല 3 3 5 (30) കുംഭം ഓരോ തുകയിൽ നിന്നും മുൻ തുക കിഴിച്ചാൽ ആ മാസത്തെ ദിനസംഖ്യ കിട്ടും 10. കുട്ടഞ്ചേരിച്ചാക്കിയാര് കൊടുങ്ങല്ലൂർ പിന്നനാൾ ഭാവന്നു തരക്കേട് വലതുങ്ങിക്കിടന്നു പോൽ 11. ഉണ്ടായി രണ്ടുമാസങ്ങൾ 21162611 0 0 2 1 3 5 11 21376122 11 260 486 10 11 5 6 36 57512110+ 12 [ 13 ] കോട്ടയത്തും ചിറക്കലും താവൽപേശിയമാസങ്ങൾ ഭാരതീയ ഗണിൽ സൂചിക 310 6 6 11 1 88578221 5 7 5 1 5 1 4 6 31063075 മാസം നല്ല ചിറക്കല് 12. നാരായണീയം പൂർത്തിയാക്കിയ കലിദിന സംഖ്യയാണ്. ആയുരാരോഗ്യസൗഖ്യം (1 7 12 2 1 0), കലിവർഷം A 6 8 7 വർഷം 9 മാസം ഇതിൽ നിന്ന് തരാംഗം (3 9 2 ) കുറ ച്ചാൽ കൊല്ലവർഷം കിട്ടും. കൊല്ലവർഷം 761, അദ്ധ്വാത്മരാമായണം മൂലം ഉത്തരങ്ങ ത്ത് നിന്ന് ഒരു വിരാബ്രാഹ്മണൻ കൊണ്ടു വന്നത് പവിത്രം കര: സൂര്യ (1721241 എന്ന ദിവസമാണ്. കൊല്ലവർഷം 787 തന്ത്രസമുച്ചയകർത്താവായ ചേന്നാസ് നാരായ ണൻ നമ്പൂതിരിയുടെ ജനനം നന്ദനയനുഭോഗി (94401080, കലിവർഷം 4529) ഉള്ളു രിന്റെ ചരമദിനത്തെ പി. വി. കൃഷ്ണവാരിയർ കുറിച്ചത് ദിവംശവവിജയം (1844618, 1949 ജൂൺ 15 അഥവാ 1124 മിഥുനം) എന്നാണ്. ബി. സി. 3102 ഫെബ്രുവരി 17 നും 18 നുമിടയിൽ ഉജ്ജയിനിയിലെ ദക്ഷിണോത ധ്രുവരേഖ അർദ്ധരാത്രിയിലായിരിക്കുമ്പോഴാണ് കലി വർഷാരംഭം. കലിവർഷം ദിവ സങ്ങളായാണ് സൂചിപ്പിക്കാറ്. കലിദിനസംഖ്യയെ തത്സമ (576) കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് യാഗം നൂപുര (210389) കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കലിവർഷസംഖ്യ ലഭിക്കുന്നു. ആചാര്യവാനഭേദം (ആചാര്യന്റെ വാക്ക് മാറ്റാവതല്ല. കലിദിനം 1434160 AD 825 ആഗസ്റ്റ് 25, തിങ്കൾ ആദിശങ്കരൻ പരിഷ്കാരം നടപ്പാക്കിയ നാൾ. പുരുധി സമാധ (9257921) എ. ഡി. 343 ഫെബ്രു. 18 യജ്ഞാസ്ഥാനം സുരഷം (1270701) എ. ഡി. 378 ഫെബ്രു. 14, വരരുചി പുത്രനായ മേളത്തോൾ അഗ്നിഹോത്രിയുടെ ജനനവും മരണ പദസംഖ്യപ്രയോഗം ഇതവരെ അക്ഷരസംഖ്യാ (കടപയാദി) പ്രയോഗമാണല്ലൊ കണ്ടത്. ഇനി സംഖ്യക്ക് പകരമായി പദങ്ങൾ പ്രയോഗിച്ച് ഉദാഹരണം കാണാം. 1. അഗ്നിപുരാണത്തിൽ ആദ്യമായി പദങ്ങൾ സ്ഥാനമൂലം പാലിച്ചുകൊണ്ട് പ്രയോഗി ച്ചുതുടങ്ങി. പുലിശസിദ്ധാന്തത്തിൽ ഖഅഷ്ട മുനിരാശ്വിനേത്ര അഷ്ടമരാശിപ എന്നുണ്ട്. അങ്കാനം വാമാഗതി എന്ന നിയമപ്രകാരം ഇത് 1582237, 800 ആണ്. വ = 0; അഷ്ട - 8; മുനി = 7; രാമൻ - 3; അശ്വി - 2 നേത്രം - 2; ശരം = 5; രാത്രിപൻ പഞ്ച പഞ്ചഗഷ്ടകലോചന ബിഷഡ്മിത = 364226455. പഞ്ചം - 5: യുഗം - 4. ഷട് - 6; ലോചനം 2; B ഗുണം - 3. - കുന്തലോകാ - 3321 (കു - 1; ദനം - 32. ലോകം - 31 നന്ദാഗ്നി - 3927 (ദ - നക്ഷത്രം - 27; നന്ദി - 9; അഗ്നി - 3 ആര്യഭടരീതി - 4; അക്ഷരങ്ങളെ അക്കങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്ന ഈ സമ്പ്രദായം പരൽ പേരെന്ന നാമ ാലും അറിയപ്പെടുന്നു. ആര്യഭടൻ ഈ സമ്പ്രദായം മറ്റൊരു രീതിയിലാണ് പ്രയോഗി ച്ചത്. വളരെ വലിയ സംഖ്യകൾ പോലും വളരെ കുറച്ചക്ഷരങ്ങൾകൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കു വാൻ കഴിയുമെന്നതാണ് അതിനുള്ള പ്രത്യേകത. കൃതി കഴിയുന്നത് ചുരുങ്ങിയിരിക്ക ണമെന്ന് ആര്യഭടൻ ആഗ്രഹിച്ചിരിക്കാം. ആര്യഭടനല്ലാതെ മറ്റു ഗണിതജ്ഞന്മാരാരും ഈ രീതി അവലംബിച്ചിട്ടില്ല. പ്രയോഗത്തിൽ കൊണ്ടുവരാൻ താരതമ്യേന പ്രയാസമുള്ള രീതി യാണിതെന്ന് പറയേണ്ടിയിരിക്കുന്നു. സാമാന്യജ്ഞാനത്തിന് വേണ്ടി അതിനെപ്പറ്റി അൽപം വിവരണം നൽകുന്നു. 13 ക മുതൽ 22 വരെയുള്ള 25 വർഗ്ഗാക്ഷരങ്ങൾക്ക് 1 മുതൽ 25 വരെ യഥാക്രമം [ 14 ] ഭാരതീയ ഗണിത ചിക വില കൽപിച്ചിരിക്കുന്നു. 20 മുതൽ ഹാ വരെയുള്ള 8 അവർഗ്ഗാക്ഷരങ്ങൾക്ക് 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 എന്നിവയാണ് വില. അ, ഇ, ഉ, ഋ, അ, എ, ഐ, ഒ, ഔ, എന്നീ 9 സ്വരാക്ഷരങ്ങൾക്ക് 100, 100', 100', . 100 എന്നീ വിലകൾ യഥാക്രമം കൽപ്പിച്ചിരി ക്കുന്നു. സ്വരം വനത്തോടു ചേരുമ്പോൾ സ്വരസംഖ്യയും വ്യഞ്ജനസംഖ്യയും തമ്മിൽ പെടുക്കണം. 6 6 x 100° + 6 x 100 600 6 x 100² 60000 6 x 100' 6000000 30 x 100° 30 3000 300000 00-> + 10000 + 300000 = 310000 30 x 100 30 x 100 + + ഗണിച്ചെടുക്കൽ ശ്രമകരമാകുന്നതും ഉച്ചരിക്കാനുള്ള വൈഷമ്യവും ഈ രീതി ക്കുള്ള ന്യൂനതകളാണ് ആര്യഭടീയ പ്രയോഗം " യുഗരവിഭഗണാഖഘു സൂര്യൻ ഒരു യുഗത്തിൽ ഖലുചക്രമണങ്ങൾ നട ന്നു എന്നർത്ഥം 4 = ഖു . യു = ഖ് ഉ . സ് x ഉ = 20000 + 300000 + B . ല് - 4 x 100 = 4000000 + അപ്പോൾ ഖു ഘു - 4320000 ഒരു മഹായുഗത്തിൽ ഭൂമിയുടെ ഭ്രമണസംഖ്യ ജിബുഷ്ൺനു ആകുന്നു. ക്കി - ക്ക് + ഇ - 5 1100 - 500 al-0-70 : 100-7000 + ബു - ബ് + ഉ - 23 : 100 - 250000 - + 80 100 +2100 - 82000000 => ൺ = ൺ +നു = ണ് + നു - 15 : 100 - 1500000000 അപ്പോൾ അങ്ങിരിബുഷ്ഖ്യൺ -320000 - 500+ 7000 + 230000 +82000000 1500000000 = 1582237500 സ്ഥാനങ്ങൾ ആര്യഭടീയത്തിൽ 1, 10, 100 ഏക, ദശ, ത, സഹസ്രാ അർബുദംഖർവ്വനി എന്നിങ്ങനെ പതിനെട്ടു സ്ഥാനങ്ങൾ കൽപ്പിച്ചിട്ടു വർവ്വമഹാപത്മശങ്കുവാൽ ജലധിശ്ചാന്ത്യം മധ്യം പരാർദ്ധമിതി ദശഗുണോരം സം 1. ക 4. 7. 10. 2. 3. 5. 6. ലക്ഷം 8. കോടി 9. 11. 12. അർബുദം നിഖർവ്വം 14 [ 15 ] 13. മഹാപത്മം 16. ഭാരതി ഗണിൽ ചിക 15 ജലധി 14. 17. മധ്യം യജുർവ്വേദസംഹിതയിൽ സ്ഥാനങ്ങൾ ഇപ്രകാരമാണ്. ഏകം, ദശം, ശതം, സഹസം, അയുതം, നിയും, പ്രയുതം, അർബുദം, സാബുതം, സമുദ്രം, മധ്യം, അന്തം, പരാർദ്ധം. 18. പരാർദ്ധം എന്നാൽ ഭാരതത്തിൽ 32 സ്ഥാനങ്ങൾ വരെ ഉപയോഗപ്പെടുത്തിയിരുന്നു എന്ന് തെളിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. അവയുടെ പേരുകൾ താഴെ കൊടുക്കുന്നു. 21. പരാർദ്ധം 22. സാഗരം 23. 24. അചിന്ത്യം 25. അത്യന്തം 16. 1. 11. അർബുദം 2. 12. മഹാർബുദം 3 13. ഖർവ്വം 4. 5. ആയിരം പതിനായിരം 14. മഹാഖർവ്വം 15. 6. ലക്ഷം 16. മഹാപാ 7. 17. ക്ഷോണി 9. 8. 10 കോടി കോടി 18. മഹാക്ഷോണി 28 മഹാഭൂമി 19. ക്ഷോഭം 29. അപ്രമേയം 10. 31. നൂറ് കോടി അഗമ്യം 20. മഹാക്ഷോഭം 30. 32. അവർത്ഥം 27 മഹാവീരന്റെ സ്ഥാനങ്ങൾ ഏകം, ദേശം, ശതം, സഹസ്രം, ദശസഹസം, ലക്ഷം, ദശലക്ഷം കോടി, ദശകോ ടി, ശതകോടി, അർബുദം, മഹാർബുദം, ഖർവം, മഹാഖർവം, പത്മം, മഹാപത്മം, ക്ഷോണി മഹാക്ഷോണി, ശംഖം, മഹാശംഖം, ക്ഷിതി, മഹാക്ഷിതി, ക്ഷോഭം, മഹാക്ഷോഭം - 24 സ്ഥാനങ്ങൾ ഭാരതത്തിൽ, ലോകത്തിൽ മറ്റെവിടെയെന്നപോലെ, വളരെ ഗവേഷണപ ഠനങ്ങൾക്ക് വിധേയമായ ഗണിതവിഷയങ്ങളിലൊന്നാണ് വൃത്തം. വൃത്തവും വാസവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നിർണ്ണയിക്കുകയെന്നത് ഗണിതപണ്ഡിതന്മാർക്ക് ആവേശകരവും വിനോദകരവും വിജ്ഞാനകരവുമായിരുന്നു. ആ ബന്ധത്തെ ഇപ്പോൾ നാം . () എന്ന ഗ്രീക്ക് അക്ഷരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഭാരതത്തിൽ പരിധി (CIRCUMFERENCE) എന്ന വാക്കിന്റെ ആദ്യക്ഷരമായ പ കൊണ്ട് ചിലർ ആ ബന്ധത്തെ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. പരിധിയും വ്യാസവും (DIAMETRE) ബന്ധപ്പെടുത്തി മൂന്നു വാക്യങ്ങളാണുള്ള പരിധി വ്യാസം T; വ്യാസം x 1 = പരിധി; പരിധി - വ്യാസം അന്റെ മൂല്യം പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ലെന്ന് മാത്രമല്ല ദശാംശരൂപത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ തീരാത്ത ഒരു സംഖയുമാണത്. അതിനാൽ പല പണ്ഡിതന്മാരും അതിന്റെ വില കഴി യുന്നത്ര സൂക്ഷ്മമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ ശ്രമിച്ചിട്ടുണ്ട്. ചിലത് ഇവിടെ ചൂണ്ടിക്കാണിക്കാം ലോ'വാസ്വാ ദ് വഹാരയോഗ്യ ഭാവിതി - 22 ശൈലം (സപ്തശൈലങ്ങൾ) - വ്യാസത്തെ 22 കൊണ്ടു പെരുക്കി 7 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ പ്രയോഗയോഗമായ പരിധി കിട്ടും. ഇവിടെ 1 ന്റെ വില - 2017 തന്റെ കൂടുതൽ സൂക്ഷ്മമായ മറ്റൊരു വില വ്യാസനന്ദാഗ്നി വിദ 15 [ 16 ] ഖബാണ് സു; പരിധിസ്റ്റുസൂക്ഷ്മ വ്യാസത്തെ നന്ദാഗ്നി കൊണ്ടുഗുണിച്ച്, ഖബാണ് സുര: നെ ക്കൊണ്ട് ഹരി ച്ചാൽ സൂക്ഷ്മമായപരിധി കണ്ടെത്താം. ഇവിടെ T=.. ഖാസുര ഭം നക്ഷത്രം - (അശ്വതി മുതൽ) 27 നന്ദൻ - നവനന്ദന്മാർ - 9 അഗ്നി - (ദക്ഷിണാഗ്നി മുതലായി 3 ഭനന്ദാഗ്നി - 3921 ഖം - ആകാശം = 0 ബാണം (കാമദേവന്റെ പഞ്ചബാണം - 5 സൂര്യഃ - ദ്വാദശാദിത്യന്മാർ - 12 ഖബാണസൂര്യ x = 1250 ഇത് പ്രകാരം 3927 1250 കേരളീയ ഗണിതജ്ഞന്റെ നിർദ്ദേശം ഇപ്രകാരമാണ്. നർമ്മരാന വട്ട പെരുക്കസരളാംഗവും കിഴിച്ചാൽ സൂക്ഷ്മമാം വട്ടം വട്ടത്തിന്ന മറിച്ചുമാം. m=0; 9 5; 2; = 1 നർമ്മരാജ്യം - 1250 m-7; 2; 89; -3 സരളാംഗം - 3927 വട്ടം - പരിധി വിട്ടം - വ്യാസം കിഴിക്കുക - ഹരിക്കുക വിട്ടം കണ്ടെത്തുവാൻ വട്ടത്തെ 1250 (നർമ്മരാജ്യം) കൊണ്ടു പെരുക്കി 3927 (സരളാം ഗം) കൊണ്ട് ഹരിയ്ക്കുക. പരിധി x 1250 3927 വട്ടം കിട്ടുവാൻ മറിച്ചും വ്യാസം × 3927 1250 നിർണ്ണയിക്കുന്നു. വ്യാസം പരിധി ന്റെ മൂല്യം ഇങ്ങനെ ചതുരധികം തഷ്ട ണംദ്വാഷഷ്ടിസ്താ സഹസ്രാണാം. അയുദ്വയവിഷം - സ്വാസാ വൃത്ത പരിണാഹ നോട്ട് : ആദികാലത്ത് കവടി ഉപയോഗിച്ചാണ് ഗണനം നടത്തിയിരുന്നത്. ആദ്വംവാ താരിയിൽ വരുന്ന അക്ഷരത്തിന്റെയോ പദത്തിന്റെയോ വില കവടി വലത്തെ അറ്റത്ത് വെക്കും. പിന്നെ ഉച്ചരിക്കുന്നതിന്റെ വിലക്കുള്ള കവടി അതിന്റെ ഇടത്തെ ഭാഗത്ത് വെക്കും. അങ്ങനെ വലത്ത് നിന്നു ഇടത്തോട്ടാണ് പരൽ സംഖ്യയുടെ വളർച്ച അങ്കാനാം വാമാഗതി എന്ന് പ്രമാണം. ആകയാൽ വായ്ത്താരിലെ ആദ്യത്തെ സംഖ ഒന്നാം സ്ഥാനത്ത് വരുന്നു. പിന്നെ, 10, 100 എന്നീ സ്ഥാനങ്ങളിൽ ക്രമത്തിൽ വരും. 16 [ 17 ] ചതുരധികം ശതം അതിനെ അഷ്ടഗുണം 104 x8 = 832 ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക ചതുരം അധികമുള്ള ശതം നാല് ചേർന്ന നൂറ് 104 8 കൊണ്ടുപെരുക്കണം ദ്വാഷഷ്ടി സഹസ്രാണാം = 62 ആയിരങ്ങൾ = 62000 ചേർക്കണം. അപ്പോൾ 62000 + 832 = 62832 ഇത്, അയുരദ്വയം - രണ്ട് അയുതം = 2 x 10000 = 20000 വിഷ്കംഭം = വ്യാസം 20,000 വ്യാസമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ പരിധി 62832 ആകുന്നു എന്ന് സാരം. ഇത് ആസന്ന (approximate) ഏകദേശവിലയാണ്. 62832 ഇതനുസരിച്ച് L = 3.1416 20000 മേലേ ന്റെ വില 3927 എന്ന് തന്നിട്ടുള്ളതും ഈ വിലയും 1250 ഒന്നു തന്നെ, ഒരേ ഭിന്നം തന്നെ 3927 1250 196 62832 20000 3927 = 3 1250 177 1250 = 3 + =3+ 1250:177 7+11 177 16 ന് തുല്യമായ 711 കളഞ്ഞാൽ ഫലം പരിധി = 3+ 22 7 7 കുറേക്കൂടി സൂക്ഷ്മത വേണമെങ്കിൽ അതിനോടടുത്ത 16 എന്ന് ചേർക്കാം. ( 16 ന് പകരം 177 17 [ 18 ] ഭാരതീയ ഗണിത ചിക - 16 355 അപ്പോൾ . = 3+ = 3 7 16 113 113 ആചാര്യന്മാർ ഇങ്ങനേയും പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. 355 = 3.14159292 113 (നിർമേനസംഖ്യ) ഇത് വരെ T ന്റെ വില ഭിന്നസംഖ്യയായിട്ടാണ് (FRACTION) കണ്ടത്. ദശാംശസംഖ്യയായിട്ടും ആചാര്യന്മാർ ഈ വിലനിർണ്ണയിച്ചിട്ടുണ്ട്. ദശാംശമാ യി കുറേ സ്ഥാനങ്ങളിലെ അക്കങ്ങൾ ഓർമ്മ വെയ്ക്കാൻ സഹായകമായ വിധം (കടപയാദി) പരൽ സംഖ്യാസമ്പ്രദായത്തിൽ ശ്ലോകമായി നിബന്ധിച്ചി ട്ടുള്ളതിന്റെ ഒരു രൂപം ഇതാണ്. - ദാംബുധി സിദ്ധ ജന്മഗണിത ശ്രദ്ധായൻ ഭൂപരി വൃത്തം : ശാർദ്ദൂലവിക്രീഡിതം. ആദ്യക്ഷരമില്ല) = 3 = 4; = 2; 6-3; w9; m = 7; w = 7; 80 = 8; 5; 3; 6m 5; 0) = 6; = 2; = w 9; a 5, 1, 84; n= 1; 0 = 3 = ഇടത്ത് നിന്ന് വലത്തോട്ട് നിരത്തുമ്പോൾ 3.14159265358979324 (17 സ്ഥാനം) ഇത് കടത്തനാട്ട് ശ്രീശങ്കരവർമ്മരാജ് സത്തമാല എന്ന കൃതിയിൽ രേഖ പ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ളതാണ്. ഇതേപോലെ മറ്റൊരു വാക്യമുണ്ട് ചണ്ഡാംശുചന്ദ്രാനനകുംഭിപാല ഇതനുസരിച്ച് r = 3.1415926536 (10 സ്ഥാനം) 18 [ 19 ] ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക അഥർവ്വവേദത്തിന്റെ ഉപവേദമായ സ്ഥാപിതവേദത്തിൽ 1 ന്റെ മൂല്യം 31 ദശാംശ സ്ഥാനം വരെ രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ആ മന്ത്രം ഇതാണ്. ഗോപീഭാഗ്യമധുവ്രതാ ശൃംഗിയോദധിസന്ധിമാ ഖാതജാതമാതാവാ ഗാലഹാലസംര → 3.1415926 -> 23589793 26861264 -> 33832792 അതീവബുദ്ധിമാനും ഗണിതപടുവുമായ മദ്രാസുകാരൻ ശ്രീനിവാസരാമാനുജം (1887-1920) 1 ന്റെ വില വളരെ അധികം സ്ഥാനം വരെ (60 - ഓളം മനപ്പാഠം പറയു മായിരുന്നുവെന്ന് പറഞ്ഞുകേട്ടിട്ടുണ്ട്. ഒരു രസികത്തം കുടി ഏഴിൽപെരുക്കിട്ടിരുപത്തി രണ്ടിൽ കിഴിക്കവട്ടത്തിന് വിട്ടമുണ്ടാം. വിട്ടത്തെയേറ്റിട്ടിരുപത്തിരണ്ടിൽ കിഴിച്ചിഴാലതു വിട്ടമല്ലോ. ഇത് മൂൻ സൂചിപ്പിച്ച വസ്തുതകളുടെ മറ്റൊരു പ്രസ്താവം മാത്രമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ ഗുൽബസൂത്രകാരൻ 11 ന്റെ വില 3,0885 എന്നായി എടുത്തിട്ടുണ്ട്. വൃത്തത്തിന് തുല്യമായ ചതുരമുണ്ടാക്കുന്ന പ്രശ്നത്തിൽ 1 - 3.004 എന്നാണ് വിലയിരുത്തിയത്. ബൗധായനൻ എന്ന ഗണിത ടെ വില 3 എന്ന് സങ്കൽപിച്ചതായി കാണുന്നു. മാന വശുൽബസൂത്രപ്രകാരം C = 3.16049 പിൽക്കാലക്കാരായ ഭാരതീയർ 11 ന്റെ വിലകു ടുതൽ സൂക്ഷ്മമായി നിർണ്ണയിച്ചു. വൃത്തവിശകലനപഠനം എനി പുർവ്വികാചാര്യന്മാർ വൃത്തവിശകലനം നടത്തി പഠിച്ച രീതിയുമായി നമു ക്കൊന്നു പരിചയപ്പെടാം. അതിൽ 1. 19 C ചിത്രം 1 F വാക്യങ്ങൾ വ്വാസം, ബ്രാവ്, എന്നീ രണ്ടു B വൃത്തത്തിന്റെ പ്രധാനാംഗങ്ങളാണല്ലോ വ്യാസം, ജാവ (CHORD) പരിധി എന്നിവ കേന്ദ്രമായ വൃത്തത്തിൽ 4B വ്യാസവും CD ജ്വാവുമാണ്. OF എന്ന വ്യാസാർദ്ധം (RADIUS) ആരം - ജാവിനെ E യിൽ ഖണ്ഡിക്കുന്നു. CD എന്ന ജാവിനും CFD എന്ന ചാപത്തിനും (ARG) ഇട യിലുള്ള വ്യാസാർദ്ധാംശമായ EF ശരം എന്ന് പറയുന്നു. വ്യാസവും പരിധിയും തമ്മിൽ ഒരു നിശ്ചിത ബന്ധ മുള്ളത് പോലെ, വ്യാസവും ജാവും ശരവും തമ്മിൽ ഒരു നിശ്ചിതബന്ധമുണ്ട്. തന്മൂലം ഒരു വൃത്തത്തിൽ ഈ മൂന്ന് അളവുകളിൽ ഏതെങ്കിലും രണ്ടുരാശി കൾ കിട്ടിയാൽ മൂന്നാമത്തേത്. കണ്ടുപിടിക്കാം. ഈ രാജിതയത്തിന്റെ സ്ഥിരബന്ധത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന (FORMULA) ഉത്ഭവിച്ചിട്ടുണ്ട്. രാശികളിൽ നിന്ന് ശരം കണ്ടെത്തുവാനുള്ള വാക്യം നോട്ട് രം എന്ന ഈ രേഖാംശത്തിന് അറബിയിൽ സഹദ് എന്നു പേരു ണ്ട്. വാക്കിനർത്ഥം ശരം (arrow) എന്ന് തന്നെ. ഇംഗ്ലീഷിൽ പേരില്ല. [ 20 ] ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക 2. വ്യാസം, ശരം എന്നീ രാശികളിൽ നിന്ന് ജാവ കണ്ടെത്തുവാനുള്ള വാക്യം 3. ശരം, ജ്വാവ് എന്നി രാശികളിൽ നിന്ന് വ്യാസം ഗണിച്ചെടുക്കുവാനുള്ള വാക്യം. വാക്യം 1 ശം കണ്ടെത്തുവാൻ ജ്വാവ്യാസയോഗാന്തരഘാത മൂലം വാസന്തദുനോദലിത് ശര്യാൽ വ്യാഖ്യാനം ജ്യാവ്യാസയോഗം - വ്യാസം + ജാവ് (ജാവാസ) അന്തരം = വ്യാസം - ജാവ് ഇവ രണ്ടും പെരുക്കിയത് - (വാ . ജ്യാ) (വ്യാ - ജാ മൂലം - ഇതിന്റെ വർഗ്ഗമൂലം + വ്യാസസ്തദുനോ = ഇത് വ്യാസത്തിൽ നിന്ന് കിഴിച്ചത് + - ദലിതം = അതിനെ രണ്ടായി ഭാഗിച്ചത് ഉപപത്തി (PROOF) OE² 40E2 OD2 ED2 (Pythagorus Theorem) 400²-4ED² (200)² - (2ED)² AB²-CD² ..20E VAB². CD²=√(AB+CD) (AB-CD) EF OF-OE (20F-20E) വാക്യം 2 ജ്വാവ് വരുത്തുവാൻ വ്യാഖ്യാനം വ്യാസാരോനാ രസം ഗുണാ മൂലം ദ്വിനിഷ്ടം ഭവതീഹജീവാ അതിന്റെ മൂലം ശരമില്ലാത്ത വ്യാസം ശരം കുറഞ്ഞ വ്യാസം വ്യാസം - ശരം ശരം കൊണ്ടു ഗുണിച്ച് - (അതിനെ) രണ്ടുകൊണ്ടു ഗുണിച്ചത് 20 [ 21 ] ഉപപത്തി CE = CD ED- 2 ED² OD². OE² (OD OE) (OD - OE) =(OD OF EF) (OD - OE) - - (20F-EF) EF √(20F-EF) EF ED = CD = 2ED = 2 V(20FEF)EF ജാവ് 2 V (വ്യാസം - ശരം) ശരം ചിത്രം 2 H - D B മറ്റൊരെളുപ്പ മാർഗ്ഗത്തിൽ ഈ വാക്യം മനസ്സിലാക്കാം. അർദ്ധവ ത്തിലുള്ള കോൺ മട്ടകോൺ (mac RIGHT ANGLE) ആയിരിക്കുമല്ലോ. അതിനാൽ കോൺ AFR = 90° (സമകോൺ). വ്യാസമായ ABക്ക് ലംബമായ FH എന്ന ജാവ് A യിൽ ഖണ്ഡിക്കുന്നു. സമകോണത്തിൽ ശീർഷത്തിൽ നിന്നുള്ള ലംബം (PERPENDICULAR ഭൂമിയെ (BASE) രണ്ടു ഖണ്ഡങ്ങളാക്കുന്നു. AG യും BG യും. അപ്പോൾ AG X BG = FG? എന്ന് നമുക്കറിയാം. AGയാണ് ശരമില്ലാത്ത വ്യാസം. BG ശരമാണ്. FG2ന്റെ മൂലം FGയും അതിന്റെ ഇരട്ടി ജാവ് FH മാണ്. ഇപ്പോഴെ ന്തായി എന്ന് നോക്കാം. ജ്വാവ് = FH 2VFG2 2FG 2√AG x BG 27(വ്യാസം - ശരം) ശരം വാക്യം 3 വ്യാസം നിർണ്ണയിക്കാൻ 21 ജീവാർഡവർഗ്ഗേശഭക്തയുക്ത വ്യാസപ്രമാണം പ്രവദന്തി വ [ 22 ] [ 23 ] ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക 60 യുടെ ശരം - വ്യാസം - N (വാ + ജ്വാ) (വ്യാ -- ജ്വാ) | 2 =[20,000-√ 30000 x 10000] = 1339.746 30 യുടെ ജ്വാവ് - വ്യാസം x 60° യുടെ ശരം √20000 x 1339.746 = 5176.381 30 യുടെ ശരം = [20,000-√25176.381 x 14823.619] =340.74175 13 യുടെ ജാവ് = 1 20000 x 340,74175 2610.5239 15° യുടെ ശരം = [20,000-22610.5239 x 17389.4761 = 85.55139 72 യുടെ ജ്വാവ് = 1 20000 x 85,55139 = 1308.0626 72° യുടെ ശരം = 2 20,000 -121308.0626 x 18691 9374) =21.41077 334° യുടെ ജ്വാവ് = 20000 821.41077 654.3817 23 [ 24 ] ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക 3° യുടെ ശരം [20,000-20654.3817x19345.6183] = 5.35418 ° യുടെ ജാവ് = V 20000 x 5.35418 1 79 യുടെ ശരം = 327.2387 20,000-V20327-2387x19672.7613] = 1.33864 15 യുടെ ജ്വാവ് - V 20000 x 1.33864 = 163.6240 15 15° എന്നത് യുടെ 360° യുടെ 360 + 36016 = 384 ൽ ഒരു ഭാഗ മാണ്. അത്രയും ചെറിയ ഒരു ചാപത്തിന്റെ ജാവ മിക്കവാറും വൃത്തചാപ ത്തോട് ഒട്ടി നിൽക്കുന്നുണ്ടാവും. അഥവാ ആ ജാവ വൃത്തപരിധിയുടെ ഒരം ശമായിത്തന്നെ മാറിയിരിക്കും. . 15 യുടെ ചാപം = 163.6240
- . വൃത്തപരിധി
163.6240 x 384 62831.62 == 62832 (ഏകദേശം) ഇങ്ങനെ 384 ജാക്കളെക്കൊണ്ട് ആചാര്യന്മാർ വൃത്തപരിധി നിർണ്ണയി നോട്ട് ചാപാത്രങ്ങളെ ചേർക്കുന്ന ജ്യാവിന്ന് സമസ്തജാവെന്ന് പറയു ന്നു. സമസ്ത ജ്വാവിന്റെ പകുതിയെ ചാപാർദ്ധത്തിന്റെ ഭുജജാവെന്നും അർദ്ധജാവെന്നും പറയാറുണ്ട്. [ 25 ] ഭാരത്തിനു ഗണി സൂചിക ജ്യോതിഷത്തിൽ 309 ഒരു രാശിയായതിനാൽ 3 രാശിക്ക് 90 ആയി. അതിനാൽ 90 യുടെ ഭൂത്വാവിനെ ത്രിരാശിജ്വാ അല്ലെങ്കിൽ തിജ്വാ എന്ന് പറയുന്നു. യുടെ തിജാ വൃത്തത്തിന്റെ ആരമാണ്. ആചാര്യന്മാർ സാങ്കേതികപദങ്ങൾ വ്യത്യ സ്ഥാർത്ഥത്തിൽ പ്രയോഗിച്ചിട്ടുള്ളത് കാരണം, പലപ്പോഴും പ്രയാസവും കുഴപ്പവും നേരിടാറുണ്ട്. 60 യുടെ സമസ്തജ്വാവ് 10,000 ആയതിനാൽ 5000 ത്തിനെ 30 യുടെ ദുജാ വെന്ന് പറയും. വൃത്തപരിധി കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള യുക്തി ഭാരതീയ ഗണിതജ്ഞന്മാർ ഇപ്രകാരം വിവരിക്കുന്നു. സമോയത് സ്വാ പരിതാംശ പൃഥ്വി പഥ്വി നിതരാം തനിയാൻ നരസ്വത്ത് പൃഷ്ഠതസ്വത്താ സദേവതസ്യ പ്രതിഭാതനസ്സാ. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിൽ 100ൽ ഒരു ഭാഗം യുക്തികൊണ്ടു വളഞ്ഞിരിക്കേ ണ്ടതായിരുന്നാലും സമമായി തോന്നുന്നു. ഭൂമി വളരെ വലിയതാണ്. അതിന്റെ ചുറ്റളവ് ഏകദേശം 25000 നാഴികയാണ്. മനുഷ്യൻ വളരെ ചെറിയ ആളാണ്. ഒരുയർന്ന സ്ഥല ത്തുനിന്ന് പത്ത് നാഴിക ദൂരം കാണുമെന്നാലും 2500 ൽ ഒരു ഭാഗം മാത്രമേ കാണുക യുള്ളു. നൂറിലൊരു ഭാഗം സമമായി തോന്നുമെങ്കിൽ 2500ൽ ഒരു ഭാഗം പറയേണ്ടതു (SINE). E താനം SINE തച്ചുശാസ്ത്രത്തിലും ഗോളശാസ്ത്രത്തിലും വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒളവാണ് താനം B ചിത്രം 3 D C A കേന്ദ്രമായ ഒരു വൃത്തപാദമാണ് ചിത്രം. വൃത്തപരിധിയുടെ നാലിലൊരു ഭാഗമായ ചാപമാണ് AB. CB menga sa mileg OA, OB, OC എന്നിവ വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസാർദ്ധം അല്ലെങ്കിൽ ആരം. CD യും CE യും CA ക്കും 8 ക്കും ലംബം. കോൺ COA പരിഗണിക്കുമ്പോൾ CDOC എന്ന ബന്ധത്തിന് ആ കോണിന്റെ താനം (SINE) എന്നു പറയുന്നു. സെൻ COD = CDIOC. ആരം 1 എന്ന് സങ്കൽപ്പിച്ചാൽ COD ■CD/OC = CD/1=CD (OD/AC am mimo ca സെൻ എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ ODOC=oD 1=OD = camund COD) CD 20 പേരിലും OD ക്ക് തുല്യമായ CE കോടിജാവ് എന്ന പേരിലും അറിയപ്പെടുന്നു. COD എന്ന കോണിന്റെ വലിപ്പം ഇ എന്ന ബിന്ദുവിന്റെ സ്ഥാനം അനുസരിച്ചിരി ക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാണല്ലോ. C. A യോടു അടുക്കുന്തോറും കോൺ ചെറുതായി ചെറു തായി, ഇയും അയും സന്ധിക്കുമ്പോൾ കോൺ 0 ഡിഗ്രിയാകും. അപ്പോൾ CD = 0. അയായത് സൈൻ 0 = 0. C B യോട് അടുക്കുംതോറും കോൺ വലുതായി വലുതായി ആ യുമായി സന്ധിക്കുമ്പോൾ കോൺ 90 ഡിഗ്രിയാവും. അപ്പോൾ OC = OB = 1. അതി നാൽ സൈൻ 90 = 1. ഇപ്പോൾ ഒരു കാര്യം വ്യക്തമായി. സൈനിന്റെ വില 0 മുതൽ 1 വരെയാകുന്നു. എന്നു വെച്ചാൽ 1 മുതൽ വ്യാസാർദ്ധം വരെയാകുന്നു. 25 1 ഡിഗ്രി (ഭാഗം) 60 കല (ഇലി) 6 വികല (വിലി [ 26 ] പരിധി ഭാരത്തിയ മണി സൂചിക 360 ഭാഗം 360 x 60 = 21600 ഇലി വൃത്തപരിധിയെ 21600 അംശമായി ഭാഗിച്ചു. ആ അംശം വൃത്തത്തിന്റെ കല എന്ന പേരിലറിയപ്പെടുന്ന ചാപം. ഈ കല കൊണ്ടു വ്യാസത്തേയും അളക്കാം. അപ്പോൾ വ്യാസം 68752 കലയെന്നും വ്യാസാർദ്ധം 3437.75 കലയെന്നും കിട്ടുന്നു. അതിനാൽ ഗണനത്തിൽ വ്യാസാർദ്ധം 3438 എന്നും നിർണ്ണയിക്കാറുണ്ട്. അങ്ങിനെ വ്യാസാർദ്ധം 3438 എന്ന് ഉദ്ദേശിക്കുമ്പോൾ സൈൻ ) മുത്വ 3438 വരെ ആയിരിക്കണമല്ലോ. ചിത്രം 4 A ഈ വസ്തുത മറ്റൊരു ചിന്താഗതിയി ലുടെ സ്ഥാപിക്കാം. പരിധി = അർദ്ധവമാസം 26. അതായത് പരിധിയിൽ 21 അർദ്ധവ്യാസങ്ങ ളുണ്ട്. ചിത്രത്തിൽ AC എന്ന ചാപം OA എന്ന അർദ്ധവ്യാസത്തിന് നീളത്തിൽ സമമെന്നു വരു മ്പോൾ, ആ ചാപം കേന്ദ്രമായ യിലുണ്ടാ ക്കുന്ന GOA എന്ന കോൺ ഒരു കാരകം (RADIAN) എന്നു പറയുന്നു. അപ്പോൾ 2 കാരകം കേന്ദ്രത്തിൽ ഉണ്ടാകുന്നു. 21 കാരകം 360° കാരകം - 300 / 21 = 57 17.7 = 57 ഭാഗം 17.7 കല ഒരു വ്യാസാർദ്ധം ഉണ്ടാക്കുന്ന കോൺ = 57 17.7 = 3437.716 കല = 3438 കല. ഇങ്ങ നെയും അർദ്ധവ്യാസം 3438 എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാം. ഭാരതത്തിൽ കണിശമായി ഈ അളവിനെ നിർണ്ണയിച്ചിട്ടുണ്ട്. അതനുസരിച്ച് 1 കാരകം - 3437 കല 44 വികല 2 അപര 22 പ്രതിര പരൽപ്പേരിൽ (അക്ഷരസംഖലയിൽ) ശ്രേഷ്ഠാ ദേവോ വിശ്വസ്ഥലി ദ എന്നാണ് 4.4 73 43 ← പൗരാണികന്മാർ താനവില നിർണ്ണയിച്ചു ദേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. 3% ഭാഗം ഇടവി ട്ടുള്ള കോണുകളുടെ താനമാണ് മണിച്ചിട്ടുള്ളത്. വ്യാസാർദ്ധം 1 എന്ന് കണക്കാക്കിയും 3438 എന്ന് കണക്കാക്കിയും രണ്ടു പട്ടിക അവർ തയ്യാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്. ആംഗലരീതിയനു സരിച്ചുള്ള നവീനവിലയും ഭാരതപ്പട്ടികയിലെ വിലയും തുലനം ചെയ്യുമ്പോൾ പരിഷ്ക തോപകരണങ്ങളൊന്നുമില്ലാതിരുന്ന ആ പഴമക്കാരുടെ ഗണനപാടവം എന്ത് മാത്രം മഹ രമായിരുന്നു എന്ന് ബോദ്ധ്യപ്പെടുന്നതാണ്. താനഗണന താഴെ വിസ്തരിച്ചു പറയുന്നു. I 30 ഭാഗത്തിന്റെ 6ൽ ഒരംശം അതായത് 3 ഭാഗം 45 കല ചാപത്തിന്റെ അല്ലെ ങ്കിൽ കോണിന്റെ ഇടവിട്ടുള്ള കോണുകളുടെ താനമാണ് പട്ടികയിലുള്ളത്. മറ്റു കോണു കളുടെ താനങ്ങൾ ആനുപാതികമായി കണ്ടെത്താവുന്നതാണ്. താനം ക്രമഗതമായി നിർണ്ണ യിക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ടു നിയമങ്ങൾ സൂര്യസിദ്ധാന്തത്തിലുണ്ട്. അവ ഒരു രാശിയിലെ കലയുടെ (1800) എട്ടിലൊന്ന് ആദ്യത്തെ താനം: ആ താനത്തെ അതുകൊണ്ട് തന്നെ ഹരിക്കുക. ഹരണഫലം ആ താനത്തിൽ നിന്ന് കിഴിക്കുക. അപ്പോൾ കിട്ടുന്ന ബാക്കി താനത്തോട് കൂട്ടുക. അത് രണ്ടാം താനം ഇതേ മാതിരി തുടർച്ചയായി കിട്ടുന്ന താനത്തിനെ ആദ്വയാനം കൊണ്ടു ഹരിക്കു ക. ഹരണഫലങ്ങളുടെ യുക ഹാരകത്തിൽ നിന്ന് കിഴിക്കുക. ബാക്കി കിട്ടുന്നത് ഒടുവിലെ താനത്തോടു കൂട്ടുക. അത് അടുത്ത താനമായിരിക്കും. ഇങ്ങനെ ഒരു വൃത്തപാദത്തിലെ 24 താനങ്ങളും കണ്ടെത്തിയിരിക്കയാണ്. ആ നിയമങ്ങളുടെ ആംഗല രീതിയിലുള്ള ഫോർമുല 26 [ 27 ] ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക 1800 Sin A =225 8 Sin A Sin 2A Sin A Sin A- Sin A 2252251=449 Sin A + Sin 2A Sin 3A Sin 2A + Sin A - Sin A 2254449 449 + 225- 225 624 674- Sin 4A Sin SA = 671 225 Sin 3A + Sin A- Sin A+ Sin 2A + Sin 3A 671225 225 + 449 + 671 896- 1345 225 225 = 890 Sin A Sin 4A +Sin A Sin A+Sin 2A+Sin 3A+Sin 4A Sin A 890225 225 +449 + 671890 1115- 2235 225 225 = 1105" ഇങ്ങനെ തുടർച്ചയായി ഗണനം നടത്തുക. താനപ്പട്ടിക TABLE OF SINES 27 ARC സൂര്യസിദ്ധാ ഇംഗ്ലീഷ് വില ഭാഗം വില R=3438 3TNE82888888 7 15 18 22 26 30 33 37 41 45 48 56 60 63 67 71 75 78 86 90 4882838485898289828 225 224.85 30 449 448.95 15 671 670.72 00 890 889.82 1105 1105.01 30 1315 1315.05 15 1520 1520.58 00 1719 1719.00 1910 1910.05 30 2093 2092.09 15 2267 2266.08 00 2431 2431.01 2585 2584.08 30 2728 2727.55 15 2859 2855.55 00 2978 2977.04 3084 3083.45 30 3177 3176.06 15 3256 3255.75 00 3321 3320.85 3372 3371.95 30 3409 3408.75 15 3431 3430.85 00 3438 3438.00 [ 28 ] ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക താഗത സമക്ഷേത്രങ്ങൾ ഒരു വൃത്തത്തിൽ സമുഖങ്ങളാൽ തികോണം, ചതുർഭുജം, പഞ്ചഭുജം എന്നിങ്ങനെ ഒമ്പത് ഭുജങ്ങൾ വരെയുള്ള ബഹുഭുജക്ഷേത്രങ്ങൾ ആലേഖനം ചെയ്യുമ്പോൾ, അവ ഓരോന്നിന്റേയും സുഹൈർഘ്യം ആചാര്യന്മാർ ഗണിച്ചുവെച്ചി ണ്ട്. അതെങ്ങനെയെന്ന് വിക്കാം ഇവിടെ ഗണനത്തിന്ന് ആധാരമാക്കിയിട്ടുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസം ഖഖ ഖാ ഭാർ ആകുന്നു. 1. ഖം = 0; അഭ്രം = 0, അർക്കം 12 . വൃത്തവാസം - 1,20,000 സമഭുജത്രികോണം ഈ വൃത്തത്തിൽ വരയ്ക്കാവുന്ന സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ ഭുജ ദൈർഘ്യം ത്രിദ്യം കാഗ്നിശ്ചന്ദ്ര എന്ന് നിർണ്ണയിച്ചിരിക്കുന്നു ത്രി - 3; ദ്വി - 2, അംക - 9 അഗ്നി - 3; നസ്സ് - 0; ചന്ദ്രൻ - 1 - അപ്പോൾ 103923 എന്ന് കിട്ടി. ഗാനം E AGE വൃത്തത്തിൽ വരഞ്ഞിട്ടുള്ള സമതി ഭുജം വൃത്തകേന്ദ്രം, EOB = വ്യാസം, ACയും EBയും Dയിൽ സന്ധിക്കുന്നു. AB (HEXAGON) a AB = B OA 60,000 (apmodaal OD = BD = 30,000. ചിത്രം 5 28 [ 29 ] AD² = = OA²-OD² tomik olan mugaileth (OA+OD) (OA - OD) 50000-30000) (60000+30000) (60000-30000) 90000 x 30000 2700000000 √2700000000 2AD 2 V2700000000 AD AC 103923 ത്രികോണഭുജം) 2. തുർഭുജം തിബാണാഷ്ടയുഗാഷ്ടമി എന്ന് വാക്യം ത്രി - 3; ബാണം - 5; അഷ്ടം = 8; യുഗം = 4; അപ്പോൾ 84853 എന്ന് വന്നു. ഗണനം ABCD വൃത്തത്തിൽ വരയ്ക്കാവുന്ന ചതുർഭുജം. AC, BD എന്നീ കർണ്ണങ്ങൾ കേന്ദ്രമായ യിൽ സന്ധിക്കുന്നു. കർണ്ണങ്ങളുടെ പെരുക്കം - AC BD nip AC x BD = AC² 1,20,000 (1,20,000)2 ചിത്രം 6 = 2 x ABCD .. ABCD = ചതുർഭുജബാഹു 3. അഷ്ടബാഹു x (1,20,000)2 1 (1,20,000)2 120000 = 84853 + ദ്വി = 2; നന്ദം - 9; ഇഷു - 5; സാഗരം = 4 അപ്പോൾ 45922 എന്ന് കിട്ടു ചിത്രം 6ൽ OL ചതുർഭുജബാഹുവായ CD ക്ക് ലംബം. OL വൃത്തപരിധിയെ പ യിൽ സന്ധിക്കുന്നു. അപ്പോൾ E എന്ന ബിന്ദു DC എന്ന ചാപത്തിന്റെ മദ്ധ്യമായി. അതി നാൽ DE എന്ന ജാവ് അഷ്ടാബാഹുവിന്റെ ഒരു ഭുജമാണ് എന്ന് സിദ്ധിക്കുന്നു. DC എന്ന ബ്രാവിന്റെ ശരമാണ് LE. LE = OE - OL DE2 ✰ DE 4. 29 = = OE - ½ BC 60000-42426½ 17573% 1,20,000 x 17,573% 2108820000 v2108820000 = 45922 അഷ്ടബാഹു [ 30 ] ഗണം ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക വേദാഗ്നി ബാണഖാവേ എന്ന വാക്യം വേദം = 4; അഗ്നി - 3; ബാണം = 5; ഖം = 0; അശ്വം = 7 അപ്പോൾ 70534 എന്ന് സിദ്ധിക്കുന്നു. E ചിത്രം 7 B ചിത്രത്തിൽ 46 പഞ്ചാബാഹുവിന്റെ ഒരു ഭുജം നിരിക്കട്ടെ. DC അതിന് ലുംബം. അപ്പോൾ AC = BC = AB. OC എന്ന രേഖ വൃത്തപരിധിയെ E യിൽ സന്ധിക്കുന്നു. A,B എന്ന ചാപത്തിന്റെ മദ്ധ്യബിന്ദുവാ ണ് E. ചാപം BE വൃത്തപരിധിയുടെ 110 ഭാഗമാണ്. അതിനാൽ ജ്വാവ് BE
ാബാഹുവിന്റെ ഒരു ഭൂജ
മാണെന്നു വരുന്നു. BE = d എന്നിരിക്കട്ടെ. CE = CD ആകും വിധം D നിർണ്ണയിക്കുക. BD യോജിപ്പിക്കു ക. ത്രികോണം EC യും ത്രികോണം DCB യും സർവ്വസമം. അതിനാൽ BE = BD = d = 0.0060 EOB 360/10 36 cam OEB - OBE = ½ (180° 36%) 72° ZBDE ZBED 72° 3.00 2DBE 180°-144° 36° ZOBD ZOBE-ZDBE 72° - 36° = 36° ZOBD OEB, DEB me കാരണം രണ്ടിന്റേയും കോണുകൾ തുല്യം = BE ZDOB=36°.OD-BD-BE-d (SIMILAR) .d²=r(r-d); r²=d²+id = d²+rd +12=1²+()²= r²+52 (d+)²=5r214 d = √51214- √s=(√5-1) ഇത് ഗാബാഹുവിന്റെ മാനം r=60,000; d=37082 DE=r-d - J= + = 3 = 1-(S-1) √5-(3-√5) DC= 2DE= BC² (3-√5) 2 BD2-CD2 (15-1)2(3-5)² =16 (4(5+1-2v5)-(9+5-6√5)1 = 16 (24-8√5-14+6√5)=(10-2√5) 52 √54 AB=2BC=2512-√54 8 8 BC എന്നത് പഞ്ചാബാഹുവിന്റെ അർദ്ധം. അതായത് 352 യുടെ ദുന്യാവ്. 30 [ 31 ] ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക v5r V6480 x 1016 - 8049844719 - 5r² = 180 0000 0000 9950155281 8 1243769410 AB = 2BC = 2 1243769410 = 70534 (സ്ഥലം) പഞ്ചാബാഹു. 5. സമസപ്താശ്രബാഹു ബാണേഷ്ഠ നഖബാണ് എന്ന് വാക്വം ബാണം - 5; ഇഷ്ഠ - 5; നഖം = 20; ബാണം - 5 അപ്പോൾ 52055 എന്ന് കിട്ടുന്നു. ഈ ബാഹുഖണ്ഡിക്കുന്ന ചാപം = 360/7 = 512543" അർദ്ധചാപം = 25 4251.5 12000 വ്യാസമായ വൃത്തത്തിൽ ഇതിന്റെ ഭുജജാവ് = 26033 ചാപാ തൽഫല ദോപിതരിൽ എന്നിത്യാദികരണപദ്ധതി സൂത്രപ്രകാരമാണ് ഈ ജാവ് വരുത്തിയിരിക്കുന്നത്. ഇതിനെ 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ സപ്താശ്രബാഹു - 52066 എന്ന് സിദ്ധിക്കുന്നു. ആചാര്യൻ ശ്ലോകത്തിൽ തന്നിരിക്കുന്നത് 52055 എന്നാകുന്നു. 6. സമനവാബാഹു 39) (00 കു = 1; രാമ = 3; ദശം = 10; വേദം = 4. അപ്പോൾ 41031 എന്ന് വരുന്നു. നവഭുജത്തിന്റെ ഭാഗം ഖണ്ഡിക്കുന്ന ചാപം ഇതിന്റെ പകുതി = 20. 360° = 40%. 9 12000 വ്യാസമുള്ള വൃത്തത്തിൽ 20ത്തിന്റെ ഭുജ്യാ = 20521 അതിന്റെ ഇരട്ടിയാണു് നവഭുജബാഹു .. നവജബാഹു = 20521 x 2 = 4142 ആചാര്യൻ 41031 എന്നാണ് തന്നിരിക്കുന്നത്. സമഭുജത്ര സർവ്വസ്വം 3 തിംഗാഗ്നിനക്ഷ 103923 84863 5 വേദാഗ്നിയാണഖാ 70534 6 ഖഖാഭാരത ക്രമാൽ 60000 52055 8 ദ്വിദ്വിനം ഷുസാഗര 45922 41031 വൃത്തിവാസസമാഹാ വൃത്താന്തപൂർവ്വാണാം നവാസാന്തം പൃഥക്പൃഥക് സാരം 103923, 84853, ..... എന്നീ സികളെക്കൊണ്ട് വൃത്തവാസത്തെ ഗുണിച്ച് 1,20,000 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ത്രിഭുജം തൊട്ട് നവഭുജം വരെയുള്ള വൃത്തഗതസമഭുജ ക്ഷേത്രങ്ങളുടെ ങ്ങൾ ക്രമേണ ലഭ്യമാകുന്നതാണ് 31 [ 32 ] സീനത്തങ്ങൾ ഭാരതീയ ഗണിത സൂചിക ഗോളശാസ്ത്രത്തിൽ ഗ്രഹണഗണനം മുതലായവയിൽ ആവശ്യമായ തത്വങ്ങളാണ് ഛിന്നവൃത്തപഠനത്തിൽ നിന്ന് ലഭ്യമാകുന്നത്. അതിന്റെ ലഘുമാതൃക ഇവിടെ കുറിക്കു E GB 02 ചിത്രം 8ൽ രണ്ടുവൃത്തങ്ങൾ അന്യോന്യം ചോദിക്കുന്നു. അപ്പോഴുണ്ടാകുന്ന സമ്പാ ഗരങ്ങൾ CC, BG എന്നിവ കാണേണ്ടി യിരിക്കുന്നു. അത് BC എന്ന ഗാനം (EROTIN) അടിസ്ഥാനമാക്കി നിർണ്ണ യിക്കുന്നു. F ചിത്രം 8 CG (AB-BC) BC h (AB+ CD)-2BC hh (CD-BC) BC BG= (AB+CD)-2BC എങ്ങിനെയെന്നാൽ njam. O, al AG. GB = EG. GF aya O, DG.GC=EG.GF AG. GB DG.GC ചിത്രം 9 (AB-BC+CG) (BC-CG) = CG (CD-CG) (AB BG) BG (BC-BG) (CD-BC + BG) = വൃത്തം O. ന്റെ വ്യാസം 1. എന്നും വൃത്തം O. ന്റെ വ്യാസം d. എന്നും ഇരിക്കട്ടെ. CG-h,, BG h₂, BC = h h₁ (d-h)h = d,+d, = mel (d,-h)h (d,+d.)-2h എന്ന ഫലം ലഭ്യമാണ്. ഇതിന്റെ ഉപപത്തി നീലകണ്ഠൻ (1500 D) നൽകിയിട്ടുണ്ട്. ആര്യന്റെ ത്രികോണം A ചിത്രം 10 B ഇറാനി പ്രയോഗമനുസരിച്ച് ആര്യഭടൻ ത്രികോണാധന നടത്തിയതെങ്ങനെയെന്നു നോക്കാം. ചിത്രം 10ൽ ത്രികോണം ABC അർദ്ധവൃത്തത്തി ലാണ്. ആയതിനാൽ കോൺ ABC ഒരു ജ കോൺ ആകുന്നു. A എന്ന പാദത്തിലേക്ക് CE ലംബവുമാണ്. ഇവിടെ ആര്യഭട സിദ്ധാന്തം സമദലകോടി ദുജാർദ്ധസംവർഗ്ഗം: ഗണിത പാദം) ത്രികോണം AEC യും (തികോണം BEC യും ആയി ത്രികോണം ABC വിഭജിക്കപ്പെട്ടി രിക്കുന്നു. ഈ രണ്ടു ത്രികോണങ്ങളും സദൃശങ്ങളാണ് (SIMILAR). കാരണം ZECE = ZCE; ZEBC = ZACE. എങ്ങനെ രണ്ടിന്റേയും കോണുകൾ തുല്യങ്ങളാണ്. അതുകൊണ്ട് അവയുടെ ഭുജങ്ങൾഘം ആനുപാതികമായിരിക്കും. ആകയാൽ CE AB = BE CE AE.BE CE² = 32 [ 33 ] ജനഗണിതപിതനായ ഉമാസ്വാതിയും ഒന്നാം ശതകം എ.വി. പിൽക്കാലത്ത് ജീനി (409 എഡി.) (ബ്രഹ്മം. തൻ 628 എഡി.) എന്നിവരും തങ്ങളുടെ ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ ഇതേ ത്വം ആവിഷ്കരിച്ചിട്ടുണ്ട് ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ ത്രികോണം മട്ടത്രികോണം m 20 11 വർഗ്ഗങ്ങളുടെ തുകക്ക് തുല്യമാണെന്ന് തത്വം ചിര പുരാതന കാലം മുതൽക്കേ അറിയപ്പെടുന്നതാണ്. ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ സങ്കൽപ്പിക്കുന്ന മട്ടത്രികോണ ത്തിന്റെ ഭുജങ്ങളുടെ അളവ് ഇപ്രകാരമാണ്. a=2mm; b=m²-n²; e = m² + n² (mn)+(2mn)2m+n-2m²n² + 4m²n? m+n+2m²n² = (m² + n²)² mamoo ca² + b² 11, 11 എന്നിവ അതുല്യങ്ങളും മുഴുസംഖ്യ (rational) കളുമാണ്. 11 നും 11 നും എത് വില കൽപ്പിച്ചും പൈത്തഗോറിയൻ സംഖ്യാവൃത്തങ്ങളെ യഥേഷ്ടം നിർമ്മിക്കാം. മട്ടകോണ നിർമ്മാണത്തിൽ ബ്രഹ്മഗുപ്തനുത്രവാക്യം 1 ത്രികോണത്തിന്റെ ഭുജങ്ങളിൽ ഒന്ന് യും 1 ഒരു മുഴുസംഖ്യയുമാണെങ്കിൽ ത്രികോ (1) a: (2) (m); (3) m പരി ഇതിൽ 4 = 10, 11 = 2 (+ m) 2-2) = .48 = 24 എങ്കിൽ = m)=' = 2 m 2 = 1 100 +2) = 52 =26 2 m 2 2 ഇവിടെ 10 + 24 പൊതുപരിശോധന == സുജ 1 ന്റെ വർഗ്ഗം - 1
==
[തിരുത്തുക]=100+576 = 676 = 262 ദുഖം 2 ന്റെ വർഗ്ഗം = = ( m (+m²-2a2) -m)² = 4 4m² 4m² a' + in 2a'm 22m² 4m² 4un am-2u2m² 832083 2² = a² + 4m² 4ama-2a2m² 4m² a+m 2am ഭുജം 3 ന്റെ വർഗ്ഗം 4m² 33 " -)]² +4 m m +m)² [ 34 ] 2. ഭാരത്തിൽ നിന്നു സൂചിയ a² + m² m a+m+2am² 4m² ജം (2) + ഭുജം (1) = ഭുജം (3) എന്ന് കിട്ടി. മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ കർണ്ണം തന്നാൽ കർണ്ണാടകത്തിലെ നാണിതജ്ഞനായ മഹാവീരാചാര്യനും ഭാസ്കരൻ ദ്വിതി യനും കർണ്ണത്തിൽ നിന്ന് ത്രികോണം സൃഷ്ടിക്കുന്നതെങ്ങനെയെന്ന് വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ട്. (ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ നിശ്ശബ്ദനാണ്). മഹാവീരപദ്ധതി a, 2mnc ഭാസ്കരപദ്ധതി ഭുജങ്ങൾ 2pc നോട്ട് p² + 1 മഹാവീരപദ്ധതിയിൽ m (m²-n²) c p²+1 n = p എന്ന് സങ്കൽപിച്ചാൽ ഭാസ്കരപദ്ധതിയായി രണ്ടും യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒന്നുതന്നെ. സ്വതന്ത്രമായി കണ്ടെത്തുന്ന രൂപം വ്യത്യസ്തമായിരി ക്കുന്നു എന്നേയുള്ളു. സംഖ്യാസിദ്ധാന്ത ചരിത്രം (HISTORY OF THEORY OF NUMBERS) എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിൽ ഡിക്സൻ (DICKSON) മേൽ സൂചിപ്പിച്ച് രണ്ടു പദ്ധതികളുടേയും ഉപജ്ഞാതാവ് ലിയോനാഡൊ ഫിബോനാച്ചി (LEONARDO FIBONACCI - 1175- 1250) എന്ന ഗണിതജ്ഞനാണെന്ന് രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഫിബോനാച്ചി എ.ഡി. 1202 ലാണ് ഇത് കണ്ടെത്തുന്നത്. മഹാവീരനും 19-ാം നൂറ്റാണ്ട്) ഭാസ്കരൻ രണ്ടാമനും (ജ. 1114) എത്രയോ മുമ്പേ ഇത് കണ്ടുപിടിച്ചു കഴിഞ്ഞിരിക്കുന്നു. പക്ഷെ അക്കാലത്ത് പ്രചരണ മാദ്ധ്യമങ്ങളില്ലാതിരുന്നതിനാൽ അവർ അർഹിക്കുന്ന പ്രസിദ്ധി അവർക്ക് ലഭിച്ചില്ലെന്ന് മാത്രം. 3. രണ്ടു ഭുജങ്ങളും ഉയരവും മുഴുസംഖ്യകളായുള്ള ത്രികോണം മേലേ 1 ൽ കാണിച്ച തത്വമാണ് ഇവിടെ പ്രയോഗിക്കേണ്ടത്. ഒരു ഭുജവും ഏതെ ങ്കിലും കുഴുസംഖ്യയും ഉപയോഗപ്പെടുത്തിക്കൊണ്ടുള്ള ത്രികോണ നിർമ്മാണമാണിത്. ഒരു മുഴുവൻ സംഖ്യ x തന്നുവെന്നിരിക്കട്ടെ. മുഴുസംഖാഭുജങ്ങളോടുകൂടിയ രണ്ടു മട്ടത്രികോണങ്ങൾ, ഒരു മുഴം X ആയും കൊണ്ടു തന്നെ നിർമ്മിക്കണം. ചിത്രത്തിൽ AD = X (തികോണത്തിന്റെ ചിത്രം 12 AB = + a) BD= 2 (a) AC = +b) h 2 DC= - D B b) ഇവിടെ 4, 5 എന്നിവ രണ്ടു മുലകൾ ABD, ACD എന്ന രണ്ടു ത്രികോണങ്ങൾ റെ ചിരിക്കുന്നു. ത്രികോണം A19) AC യുടെ മേലെ വെക്കുകയാണ ങ്കിൽ 13 എന്ന മൂകം AB' എന്ന മായിരിക്കും. ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ സാധുത പരിശോധിക്കാം 34 [ 35 ] AB= + a)'] = + a² + 2x²) a = 4a² +4 + BD= (a) P = x+a+2ax² 4a² + a² - 2x²) 4 4a2 -- x+a 2a-x 4 4a x²+ a + 2a²x² 2ax AB - BD² = 4a 4a² - x -a+2a'x2 x+a+2ax 4a²x² 4a² x² = AD² == 4a² ഇപ്രകാരം തന്നെ ത്രികോണം ACD യും പരിശോധിക്കാം. മേല ചെയ്ത ക്രിയയിൽ 1 ക്ക് പകരം b ആദേശിച്ചാൽ AD - CD = X = AD' എന്ന് കിട്ടുന്നതാണ്. ബ്രഹ്മഗുപ്ത സിദ്ധാന്തം ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ടു ഭുജങ്ങൾ ഭാഗങ്ങളായുള്ള ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന് തുലാമായിരിക്കും ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരവും ആവരണത്തിന്റെ CIRCUM CIRCLE) വാസവും ഭാഗങ്ങളായുള്ള ദീർഘചതുരം ABC പ്രകൃതത്തിലെ ത്രികോണം AD molan gwa (ALTITUDE). AE ആവരണത്തെ വ്യാസം (തികോണങ്ങൾ ADB യും CE സും പരിഗണിക്കുക. ZADB ZAce = ത്തിലെ കോൺ ZABC ZAEC (6ce n ZBAD = ZEAC. ത്രികോണങ്ങളിലും മൂന്ന് കോണുകളും C സദൃശങ്ങൾ B D AC AD Ali AB ചിത്രം 13 E = അപ്പോൾ AC.AB = AE AD ത്രികോണം സന്തരണോ ഭുവായോ ലാ സ്വാബാധാദുജ കാ രന്തമൂലം പ്രജായത ലംബ ലംബമുണം ഭൂമുർഷം . തിരുജേഫലം ഭവതി [ 36 ] D 11 B ചിത്രം 14ൽ A, BC ത്രികോണത്തിന്റെ പാർശ്വങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ വാദക്ഷിണബാഹു ക്കാർ എന്ന ബിന്ദു (തികോണത്തിന്റെ ശിഖരം (VERTEX) CD 200m AB CO ത്രികോണത്തിന്റെ ആധാരമെന്നോ ഭൂമിയെന്നോ പറയുന്നു. AD, BD എന്നിവ ഖണ്ഡങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ ആ ബാധകൾ, ത്രികോണത്തിൽ രണ്ടു ബാഹുക്കളുടേയും മാഘാതത്തെ ഭൂമികൊണ്ട് ഹരിച്ച് ഫല അടിക്ക് വെച്ച് ഭൂമിയിൽ കുറക്കുകയും കുട്ടുകയും ചെയ്തർദ്ധിച്ചത്. ആ ബാഹുക്കളുടെ ആ ബാധകളാകുന്നു. ബാഹുവർഗ്ഗത്തിൽ നിന്ന് സ്വകീയമായ ആ ബാധയുടെ വർഗ്ഗത്തെ കളഞ്ഞ് ലി ഇത് ലംബമാകുന്നു. ഭൂമിയുടെ പാതിയെ ലംസം കൊണ്ടു പെരുക്കിയത് ത്രികോണ ഫലമാകുന്നു 2 Ploslo - ജങ്ങളുടെ ആ ബാധകൾ ത്രികോണം (1) ക = കർണ്ണം, ല = കോടി ഖ = ദും കർണ്ണം, ല കോടി, ഘ = 3 ചിത്രം 15 e 2 2 2 2 2 -el-s 2 2. 2 2 (50 +2) 2 00 2 2 അതിനാൽ ആ ബാധാവർഗ്ഗാദം ബാഹുവർഗ്ഗാനുദത്തിന് തുല്യമെന്ന് സിദ്ധിച്ചു -1 B 62+1 2 ബാഹുവർഗ്ഗാന്തരത്തെ ഭൂമി കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ ആബാധാരമാകുന്നു ആ ബാധയോഗം ഭൂമി തന്നെ. ഈ യോഗത്തിൽ അന്തരത്തെകുറക്കുകയും കുട്ടുകയും ചെയ്തർദ്ധിച്ചാൽ ചെറിയ ആണാനയ്ക്കും വലിയ ആബാധയും ഉണ്ടാകുമെന്നത് സംക്രമണനായും ക - " എന്നതിനെ ഭൂമികൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ ആ ബാലന്തരം അതിനെത്തന്നെ ബാഹുയോഗം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ ബാഹ്യാന്തരമുണ്ടാകും. 2 01 P + S 2 ബാഹുയോഗം ഭൂമിയേക്കാൾ വലിയതാകയാൽ ബാഹ്വാന്തരം സദാ ആബാധാര ത്തേക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കും. 2 2 62 el 2 2 = ഇതിൽ നിന്നു ലംബത്തെയുണ്ടാക്കാം. ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു ബാഹു മറ്റേ ബാഹുവിന്റേയും ഭൂരി ടേയും വർഗ്ഗയോഗമുലത്തേക്കാൾ അധികമായിരിക്കു മ്പോൾ ശിഖ ദത്തിൽ നിന്നുള്ള ലംബം ഭൂമിക്ക് പുറത്ത് വീഴുന്നു. അപ്പോൾ കർ ണമായും ധനമായും സങ്കൽപ്പിക്കാം. ചിത്രം 16 ചിത്രം 16 36 [ 37 ] 2 ബോവർധേ യോഗച ലംബ രണ്ടു തുണുകളുടെ മാനങ്ങളെ തമ്മിൽ പെരുക്കിയതിനെ അവയുടെ യോഹം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ആ തൂണുകളുടെ അടിയും അറ്റവും അന്യോന്യം ചേർക്കുന്ന സൂത്രങ്ങൾ കൂടു ന്നവിടെ നിന്നുള്ള ലംബമാകുന്നു. രണ്ടു തൂണുകളുടേയും മാനങ്ങളെ അവയുടെ യോഗം കൊണ്ട് ഹരിച്ച് ദിഷ്ട ഭുമി കൊണ്ട് പെരുക്കിയാൽ ഭുവനങ്ങളുണ്ടാകും el Sx 6 63 XP ex = x 5 x 6 (1) ex = B3 ക (1)+(2) e(&(0) ഖ + ഘ = ഭൂമി (+)-85 el 6 ചിത്രം 17 61-12 X B2 ക 8-5 X S ക ക 3 X X Dr+5) ഇങ്ങനെ രണ്ടുഖണ്ഡങ്ങൾ, ആബാധകൾ കിട്ടി സമകോണത്രികോണം SCOD 33 B2 കർണ്ണമദ്ധ്വരത്തിലൂടെ ലംബം വരച്ചാൽ ഉണ്ടാകുന്ന ത്രികോണത്തെ കർണ്ണത്തിന്റെ മറ്റേ പകുതിയോടു ചേർക്കുക. അപ്പോൾ ഒരു ആയത ചതുരശ്രം ഉണ്ടാകുന്നു. ആ ആയത്തുദ്രത്തിന്റെ കോടി ലംബം തന്നെ. ഭുജം (തികോണത്തിന്റെ ആയത് ചതുരത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലം കോടി ആദ്യത്രികോണത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലം ചിത്രം 19 1 = (+61) 2 ചാക്രിക ചതുർഭുജം CYCLIC QUADRILATERAL ബ്രഹ്മഗുപ്തി പ്രകാരം ഒരു ചാക്രിക ചതുർഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 37 സർവ്വാർയുതി ദലിതം ബാദിൽ വിരഹിതം പത ധാർ മൂലസ് ഫലം ചതുർഭു [ 38 ] എല്ലാ ഭാരങ്ങളുടേയും യോ അദ്ധിച്ച് നടത്തുവെച്ച് വിൽ നിന്ന് ഭൂതങ്ങള ഓരോന്നായിക്കളഞ്ഞു കിട്ടുന്നവയെ ഒന്നായി പെരുക്കി മുലിച്ചൻ ചാരത്തിൽ അ ക്ഷേത്രഫലവും ത്രികോണത്തിൽ സ്പഷ്ടഫലവുമുണ്ടാകും. 4. 1, 2, U എന്നിവ ചതുർദു ഭാഗങ്ങളാണെങ്കിൽ ഭൂജയോഗം = a+b+c+d ക്കുന്നു. ദുജയോഗാർദ്ധം = a+b+c+d 2 (s - a) (s - b) (s - c) (5 - ) എന്ന തത്വം ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ വിശദീകരി ഈ തത്വം ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ സ്ഥാപിച്ച് ആയിരം വർഷങ്ങൾ കഴിഞ്ഞിട്ട് യൂറോ ലിൽ ഇത് കണ്ടെത്തിയത്. 1619 ലാണ് ൽ (W.shell) ഈ സൂത്രം പ്രഖ്യാപിച്ചത്. ബ്രഹ്മഗുപ്തന് ഒരു പിഴവ് പറ്റി അഥവാ ഒരു വസ്തുത വ്യക്തമാക്കിയില്ല. ഈ സൂത്രം ചാക്രിക ചതുർദുക്കത്തിന് മാത്രമേ അനുയോജ്വമാകയുള്ളൂ എന്ന് പറഞ്ഞില്ല. തന്മൂലം പ്രഥ മവീക്ഷണത്തിൽ ഈ സൂത്രം ചാക്രികമല്ലാത്ത ചതുർഭുജങ്ങൾക്കും ബാധകമാകുമെന്ന ഒരു ധാരണക്ക് കാരണമായിത്തീർന്നു. പിൽക്കാലക്കാര ഈ വാക്യം ഇതരച ഭുതങ്ങൾക്ക് ബാധകമല്ലെന്ന് മനസ്സിലാക്കിയപ്പോൾ ആ പണ്ഡിതശ്രേഷ്ഠനെ വിഡ്ഢി യെന്നും പിശാചെന്നും അപഹസിക്കുകയുണ്ടായി. യോ സൗകുർക്കുമ പോവാ എന്ന പദപ്രയോഗം ബുദ്ധിപൂർവ്വം ആ അപഹാസകന്മാർ ഒരു നന്മ ചെയ്തു. വ്യക്തിയുടെ നാമം വ്യക്തമാക്കിയില്ല. അതിന് നന്ദി. ചതുർഭുജത്തിന്റെ കർണ്ണങ്ങൾ ബ്രഹ്മഗുപ്ത സിദ്ധാന്തം ഓരോ കണ്ണത്തിന്റേയും ഇരു വശങ്ങളിലുമുള്ള ഭുജങ്ങൾ അന്യോന്യം പെരുക്കി തുക കാണുക. തുകകൾ തമ്മിൽ പെരുക്കുക. മറ്റേ കർണ്ണത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഭുജങ്ങളെ പെരുക്കി തുക കാണുക.. ഈ തുക കൊണ്ടു മുൻ പെരുക്കത്തെ ഹരി ക്കുക. ഹരിതഫലത്തിന്റെ വർഗ്ഗമൂലം കർണ്ണമായിരി (ab + cd) (ac+bd) ½½ = P ചിത്രം 19 (ad + bc) (ab+bc) (ac + bd)½ =q (ad+cd) ത്രികോണത്തെ സമചതുരമാക്കുക, വൃത്തത്തെ സമചതുരമാക്കുക, സമരത്തെ വൃത്തമാക്കുക. സമചതുരത്തിന്റെ ഇരട്ടി ക്ഷേത്രഫലമുള്ള ചതുരമുണ്ടാക്കുക, സമചതു 2 N മടങ്ങാക്കുക, അതുല്യസമചതുരങ്ങളെ ചേർക്കുക എന്ന് തുടങ്ങി ക്ഷേത്രഫല സംബന്ധിയായ പല കാര്യങ്ങളും ജനഗണിതപണ്ഡിതന്മാരുടേയും പിൽക്കാലത്തുള്ള വരുടേയും കൃതികളിൽ വിസ്തരിച്ചിട്ടുണ്ട്. 12, 110, 1 മുതലായ അപരിമേയങ്ങളുടെ വിലയും ഏകദേശം കൃത്വമായിത്തന്നെ അവർ ഊഹിച്ചു മനസ്സിലാക്കി ഗണനങ്ങളിൽ പ്രയോ ശിച്ചിട്ടുണ്ട്. ബ്രഹ്മഗുപ്തസിദ്ധാന്തം ത്രികോണങ്ങളിൽ ബ്രഹ്മഗുപ്തസിദ്ധാന്തം ത്രികോണത്തിലേക്കും ബാധകമാക്കാം. വനത്തു ത്തിന്റെ ഒരു ബാഹുസമെന്ന് കൽപ്പിച്ചാൽ ത്രികോണക്ഷേത്രഫലം കിട്ടും. ഏത് ത്രികോണവും വൃത്തഗതമാകയാൽ ഈ സൂത്രം എല്ലാ ത്രികോണങ്ങൾക്കും അനുയോജ്യ ലവും ആബാധകളും വരുത്തുന്ന സുരത്തിലെപോലെ ആ ഭൂമിയും ക, 7 ബാഹു ക്കളും ല ലംബവും ആയ ത്രികോണത്തിന്റെ ലവർഗ്ഗം ല? എങ്കിൽ 38 [ 39 ] a 2 2 2 -10 309 2 2 00 2 .2 PI -48 3 2 4 B 2 22 09 + A 6 302 2 2 2 - 4308 - + = + ((+23) -
- ) (1
= (++) (8 + @ - -- 002) (m³ - +003- -10-09) (50 + D = 2 3 എന്നിരിക്കട്ടെ. +3+ 4 e- 2 2 B (28200) (2ẞ - 23] (26 168 (3-0) (3) (s B (3 - - ) 8 cal (800) - ഭൂമിയുടെ മാനവും ല ലംബവുമാകയാൽ ത്രികോണത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലം 2 .2 (8) (5) (6) (C) √3 (8) (6) (6 മഹാവീരന്റെ ഒരു പ്രശ്നം T4 ¼ I ചിത്രം 21 f - -2) 00°)} നാല് വൃത്തങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ നാല് നാണ്യങ്ങൾ തൊട്ടുതൊട്ടു രണ്ടുവരിയിൽ കിടന്നാൽ അവ വലയം ചെയ്യുന്ന ഒഴിഞ്ഞ സ്ഥലത്തിന്റെ ക്ഷേത്ര ഫലം ചേർന്ന ഒരു വാസമാണ് ചതുരത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗമെന്ന് ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് വ്യക്ത മാണല്ലോ ആ ചതുരത്തിന്റെ ക്ഷേത കാണുക. നാലു വൃത്തങ്ങളുടേയും 14 ഭാഗം വീതം ച ത്തിൽ പെട്ടിട്ടുണ്ട്. ആകയാൽ ചതുരത്തിന്റെ ക്ഷേമ ഫലത്തിൽ നിന്നും ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ക്ഷേഫലം കീഴി ചാൽ ഒഴിഞ്ഞ സ്ഥലത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലം കിട്ടും D²-7² = 412-²= F (4-x) ഇതേപോലെ മൂന്ന് വൃത്തങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ നാണ്യങ്ങൾ അന്വോന്യം മുട്ടിയിരിക്കു നടുവിലുള്ള ഒഴിവുസ്ഥലത്തിന്റെ ഫല 39 വൃത്തവാസത്തിന് തുല്യമായ ഭുജങ്ങളുള്ള ഒരു സമഭുജത്രികോണത്തിന്റെ ക്ഷേത്ര [ 40 ] 6 1 r അതിനുള്ളിൽപ്പെടുമെന്ന് ചിത്രത്തിൽ നിന്നും വ്യക്ത മാണല്ലോ. അപ്പോൾ ഒന്നു വൃത്തങ്ങളിൽ അത്തം 3 x 116 = 12 വൃത്തത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലം ത്രികോ നക്ഷത്രഫലത്തിൽ നിന്നും കിഴിച്ചാൽ ഒഴി50000 സ്ഥലത്തിന്റെ ക്ഷേത്ര ഫലം കിട്ടും. r ചിത്രം 22 ത്രികോണത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലം |3rr = 3 ra 2 വൃത്തത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലം ഒഴിവുസ്ഥലത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലം Tr² 2 √3r. 2√3r²² (2√3-n) 3 3 2r 3r ചിത്രം 23 ഒരു സമകോണത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു ദുജം & എന്ന് തന്നിരുന്നാൽ മറ്റു ഭൂതങ്ങൾ (m). m +m) ഇവിടെ ന്ന ഒരു പരിമേയ സംഖ്യയാകുന്നു. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ടു മുഖങ്ങൾ b, c എന്നിരിക്കട്ടെ. അവയുടെ സംഗമബി ജുവിലൂടെ മറ്റു വശത്തേക്കുള്ള ലംബം ? ആണെങ്കിൽ ആ ത്രികോണത്തിന്റെ പരിവൃത്ത ത്തിന്റെ (CIRCUMCIRCLE) വ്യാസം c ആയിരിക്കും. ഭരതീയ വിജ്ഞാനഭൂമി കുഴിച്ചു നോക്കിയാൽ പല അമൂല്യവിഭവങ്ങളും കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, പ്രത്യേകിച്ചും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ചില വസ്തുതകൾ കൂടി വ്യക്തമാക്കുന്നത് വിജ്ഞാനപ്രദവും ഗണിതവിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദവുമായിരിക്കും. നമ്മുടെ പൂർവ്വി കന്മാരുടെ ബൗദ്ധികോൽക്കർഷത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു ധാരണയുണ്ടാക്കാനും അത് സഹായി ക്കും. യൂറോപ്യൻ വിജ്ഞാനത്തിന്റെ ധവളിമയിൽ കണ്ണുമഞ്ഞളിച്ച് നമുക്ക് നമ്മുടെ ആചാ ദ്വിമാരുടെ യഥാർത്ഥ വലിപ്പം കാണാൻ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല. പൂർവ്വികന്മാരുടെ മസ്തിഷ്കം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ എല്ലാ ശാഖകളിലും വാ രിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് മുമ്പേ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. അതിലെ ഒരു ഭാഗമായ ഡി അല്ലെങ്കിൽ ശ്രേണി (SERIES) യെക്കുറിച്ച് അല്പം പ്രതിപാദിക്കാം. ശ്രേണീ വിഹാരം ഒരു നിയമത്തിന് വിധേയമായി തുടർന്നു വരുന്ന പല സംഖ്യകളെ ശ്രേണിയെന്ന് പറ യുന്നു. ഒരു ശ്രേണിയിൽ വരുന്ന ഒന്നിലധികം അക്കങ്ങളുടെ ആകത്തുക കാണുക ന്നതാണ് ഈ വിഭാഗത്തിലെ പ്രശ്നം ആദ്യമായി ഇതിലുപയോഗിക്കുന്ന സാങ്കേതിക പദങ്ങളുമായി പരിചയപ്പെടാം. സങ്കലനം ചെയ്യാനുള്ള ശ്രേണിയിലെ ആദ്യപദം (FIRST TERM) - ആദ്യം അല്ലെങ്കിൽ മുഖം അവസാനപദം (LAST TERM) - അന്ത്യം പദങ്ങളുടെ എണ്ണം (NO. OF TERMS) - ഗച്ഛം നിയുടെ ആകെത്തുക (SUM OF TERMS) - സർവ്വാനം അല്ലെങ്കിൽ സംകല്പിതം. രണ്ടു പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം (DIFFERENCE) ചലം കൂട്ടുമ്പോൾ ചയം, കുറക്കുമ്പോൾ ക്ഷയം അല്ലെങ്കിൽ ഋണയം സംഖ്യയെ പെരു ക്കുമ്പോൾ പെരുക്കുന്ന ഘടകം - ഗുണം ഗുണകം. 1 + 2 + 3 + എന്നിങ്ങനെയുടെ പ്രകൃതി സത്യാണിക്ക് ഏകാകോത്തര സംഖ്യ എന്ന് പേർ. ഇഷ്ട ച്ചും വരെ കുട്ടിക്കിട്ടുന്ന സംഖ്യക്ക് ആദ്യസംകലനം എന്ന് പേർ. ഇവിടെ അശ്വവും ഗച്ഛവും 40 [ 41 ] ഒന്ന് തന്നെ എന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. തുടങ്ങി അന്ത്യം വരെ സംഭിച്ച് സങ്കലനം ചെയ്താൽ ഗ് ത്തോളം സങ്കലിതങ്ങൾ ഉണ്ടാകും. ഇവയെല്ലാം സങ്കലനം ചെയ്യുന്നതിന്ന് ദ്വിത്യസങ്കലനം എന്ന് പേർ ഇങ്ങനെയുണ്ടാകുന്ന ഗത്തോളം ദ്വിതീയ സങ്കലിതങ്ങളെ പിന്നേയും സങ്ക ലനം ചെയ്യുന്നതിന്ന് ത്വതീയ സങ്കലനമെന്ന് പേർ ഗംഗ എങ്കിൽ ആദ്യസങ്കലനം ദ്വിതീയ സങ്കലനം തൃതീയ സങ്കലനം എന്നിങ്ങനെ ചിഹ്നം കൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കുന്നു. സംഗ ഏകാകോത്തര സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളേയും ഘനങ്ങളേയും വർഗ്ഗവർഗ്ഗാദിക ളേയും സങ്കലനം ചെയ്യാം. എങ്ങനെയെന്നാൽ ഗനെ എങ്കിൽ ഈ സങ്കലനങ്ങളെ സം ഗ), സംഗ), സംഗം) എന്നീ ചിഹ്നങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. മാതൃക കാണുക. = = = = 1+2+3+4+5+6 1+3+6+10+15+21 1+4+10+20+35+56 1+2+3+4+5+6 = 1+4+9+16+ 25+ 36 = 1+2+3+4+5+6' 1+8+27+64 +125+ 216 21 56 126 91 441 ഈ അടയാളങ്ങൾ പാശ്ചാത്വാനുകളാണ് ഭാരതത്തിൽ ഇത്തരം സൂചനാചിഹ്നങ്ങൾ ഇല്ലാതിരുന്നതിനാൽ ഈ ഗണിതവിഭാഗം വേണ്ടത് വളർന്നില്ല എന്നത് ഒരു ദുഃഖസത്യമാ സങ്കലിതങ്ങൾ പദത്തോട് ഒന്ന് (1) ചേർത്തതിനെ പരാർദ്ധം കൊണ്ടു പെരുക്കിയത് സങ്കല്പിതം ഏകാദിസംഖ്യായോഗം mo (0) 1+2+3+4+ (0-1)+0 2+1 എല്ലാ പദങ്ങളും ഗ എങ്കിൽ അധികം ചേർന്നത് (0-1)+(-2)+(-3) + (2) + ഗ = (1) എന്ന് വ്യക്തം എല്ലാം എങ്കിൽ അതിന്റെ സങ്കലിതം ഗ (((0))) 00 - (c). -55 - + 2 (2);(2) (1) = - S 2 x (0) + 0 = (i + 1) 0000+1) 2 tonaje sad ഇതിന്റെ ആംഗലരൂപം ആകെത്തുക എന്ന് ക S=1+2+3+4+ S=n+(n-1)+(112) + t (n-1)+n 2+1 (1) (2) 2S (n+1)+(n+1)+(n+1)(n+1)+(n+1)=(n+1) S = n(n+1) ദ്വിതീയ സങ്കലിതം 41 2 പദത്തോട് 2 ചേർത്തതിനെ പദം കൊണ്ട് പെരുക്കി കൊണ്ടു ഹരിച്ചത് ദ്വിതീയസ = s(n) n(n+1)-2(n-1)n+xn-2x-1)+....../22.3+1 2 [ 42 ] ഓരോ പദത്തിലും വലത്തുള്ള 1+1, 11, 11) എന്നിവ 1 + 1 ആയെങ്കിൽ കിട്ടുന്ന യോഗം (n+1)(n+(n-1)+ (n-2)+(n-3)+..............2+1) (n+1) (moello)=2(n+1)n (n-1) == ¼ n(n+1)² ഇതിൽ 1 + 1 എന്ന ഗുണകാരസങ്കൽപത്തിൽ അധികം ചേർന്നത് 2 (A) =0+ (n=1) 3(n-3) 2(n-2) + + + in-21.2 (n-1).1 + = 2 ((n-1)+2(n-2)+3(n-3) + 2 (n-2)2+(n-1)) (n-1) + (n-2) + (n-3) + (n-4)+........ 3+2+1 ½ + (n-2) + (n-3) + (n-4) + 3+2+1 + (n-3) + (n-4)+ + (n-4)+ 3+2+1 +2+1 +1 3+2+1 3+2+1 = ½½(mo(n-1)+m(n-2)+ mo(n-3)+....... mo(2)+m(1)} 2 = - ഇത് എന്ന തുകയിൽ സം (3) എന്നതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ ചേർന്നതാണ്. 2 - (1) (m²(m) (mo()) 14(+1) 20²(10) +½½ (0) (+1)²+ Mo(1) (0+1)+4(+1) ((+1)²+ (+1)} 10x00+200+1+0+1) 14(+2+3+2) 400(-1) (0+2) (0+1) (0+2) (0+1) (0+2) 2 (0+2) ആദ്യസങ്കലനം ദ്വിതീയ സങ്കലനം മറ്റൊരു വിധത്തിൽ കാണാം സം 2xS (n) Van(n+1)+2(n-1)n+(n-2)(n-1)+...../22.3+1.1.2 n(n+1)+(n-1)n+(n-2)(n-1)+......2.3+ 1.2 ഓരോ പദവും രണ്ടുപദങ്ങളുടെ ഭേദകമായെഴുതാം 003 n(n+1)= n(n+1) x (n+2)-(n-1) 3 a(11)(n+2) 3 (n-1) (n+1) ഇനി 11 ന് പകരം (1) -- 1) എന്നാക്കി തുടരുക. (n-1)n (-)(n+1) 3 3 (n-2) (n-1)n 42 3 [ 43 ] (n-2Xn- 3 (n-2)(n-1)=(-2 (n-3)(n-2) = (0-3)(n-2)(n-1) ത്തിയ ഗണിത സൂചിക (-3)(n-2)(n-1) 3 (0-4)-3-2) x 3x4 = 3x4x5 2x3x4 - 3 2 x 3 = 2x3x4 1x2x2 1.2.3 1x2 = ഇവിടെ ഇടത് പക്ഷം ദ്വിതീയ സങ്കലിതത്തിന്റെ ഇരട്ടി വലത് പക്ഷം പദങ്ങൾ അന്യോനം തുലിതമായി നശിച്ച് ഒടുവിൽ n(n+1)(n+2) 3 ..2x (TUO (10)= 1 3 Mo (5)= 2 മാത്രം ശേഷിക്കും 0000+10+2) 2.3 +1)(+2) (ആര്യഭടൻ ദ്വിതീയ സങ്കലിതത്തിന്റെ 2 x 3 മടങ്ങ് = n(n+1) (n+2)+ (n-1)n(n+1)+ ഇതിൽ ആദ്യപദം n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)x n(n+1)(n+2)(n+3) മുൻപത്തെപ്പോലെ ചെയ്താൽ - +1.2.3 (n+3)-(n-1) 4 (n-1)n(n+1)(n+2) തീയ സങ്കലനം = 23, n(n+1)(n+2)(n+3) എല്ലാം കൂടി ഇങ്ങനെ രേഖപ്പെടുത്താം. = n(n+1) 2 n(n+1)(n+2) 3 2.3.4 n(n+1)(n+2)(n+3) = A 1 മുതൽ 9 വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ സങ്കലിതങ്ങളും സങ്കല്പികങ്ങളും 2.3.4.5 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) സംഖ 1 2 3 4 5 6 7 8 9. ആദ്യസം 1.2 2.3 34 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 6 10 15 21 28 36 45 ദ്വിതീയസം 12.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 9.10.11 6 6 6 6. 6 1 4 10 20 35 56 84 120 165 1.2.3.4 2.3.45 9.10.11.12 24 24 24 1 5 15 35 70 126 210 330 495 43 [ 44 ] ആദ്വവർഗ്ഗസങ്കലിതം (സം ഗ അന്ത്യപദം ' എന്നിരിക്കട്ടെ. mo(n²) =1+2+3+4+........(n-1)+n =1(2-1)+2(3-1)+3(4-1)+......(n-1 Xn-1)+n(n+1-1) = 1.2+2.3+3.4+4.5+....(n-1)n+n(n+1)-(1+2+3+...n) = 2 x mo (n) ((n) - = 2x n(n+1)(n+2)-n(n+1) 6 n(n+1)(2(n+2)-3) = 6 = n(n+1)(2n+1)= 6 20-1 3 സംഗ ആദ്യസങ്കലിതം ഘനസങ്കലിതം - n(n+1) 2 2n+1 3 ബഹുഗുപ്തനും ഭാസ്കരനും! അന്ത്യപദം ” എന്നിരിക്കട്ടെ. സംഗം = 1 + 2 + 3 + ... n(n + 1) (10 + 2) = n³+ 3n²+ 2n n'+ 3n(n+1)- -n n(n+1)(n+2)-3n(n+1)+n ഇതിൽ 11 ന് പകരം 1 - 1, 1 - 2, ... 2, 1 എന്ന് വെക്കുക. (n-1)n(n+1)-3(n-1) n + (n-1) (n-2)(n-1)n-3(n-2)(n-1) + (n-2) (n-3)(n-2)(n-1)-3(n-3)(n-2)+ (n-3) = n³ (n-1) (n-2) (n-3) 33 3.4.5 23 13 = 2.3.4 1.2.3 3.3.4 3.2.3 3.1.2 3 2 ഇതിൽ ഇടത് പക്ഷം ഘനസംഗീതമാകുന്നു. n(n+1) (+2) എന്നത് ദ്വിതീയ സങ്കലിത ത്തിന്റെ 6 ഇരട്ടിയാണ് അതിൽ 11 എന്നതിന് 1 മുതൽ 12 വരെ വിലകൽപ്പിച്ച് എല്ലാം കൂടി കൂട്ടിയാൽ തൃതീയ സങ്കലിതത്തിന്റെ 6 ചടങ്ങു വരും 31(11+1) എന്നത് പ്രഥമസങ്കലിത ത്തിന്റെ 6 മടങ്ങാകുന്നു. ഇതിൽ 1 എന്നതിന് 1 മുതൽ 7 വരെ വില കൽപ്പിച്ച ഫലമെല്ലാം കൂട്ടിയാൽ 6 മടങ്ങു ദ്വിതീയ സങ്കലിതം. 11 ന് 1 മുതൽ 1 വരെ കൂട്ടിയാൽ പ്രഥമ സലിം. nn(n+1)(n+2)-3n(n+1)+n ഘനസങ്കലിതം = 6 8 തൃതീയ സങ്കലിതം പ്രഥമ സങ്കലിതം - 24 + n(n+1)(n+2)(n+3)-n(n+1)(n+2)+(+1) n (n+1)((n+2)(n+3)-4(n+2)+2) n(n+1)(n+5n+6-4n-8+2) n(n+1)(n+n) 2 44 [ 45 ] =+ n' (n+1)² 4 (½½n(n + 1))². പ്രഥമസംവലിതവർഗ്ഗം വിഷമേധയേ ഗുണകഃ സ്ഥാപഃ സർവ്വർഗ്ഗം ദസ്തം ഗുണവർഗ്ഗം ഫലം തങ്ങൾ കം കാഡ് മാദിഗുണം സ്വാദ് ഗുണോത്തര ഗണിതം. ഗച്ഛം വിഷമമായിരിക്കുമ്പോൾ 1 കുറച്ച് ഗുണകം വെക്കുക നച്ഛം സമസംഖ്യയാകു മ്പോൾ അർദ്ധിച്ച് വർഗ്ഗം വെക്കുക. ഇങ്ങനെ ഗച്ചും ഒടുങ്ങുവോളം ചെയ്യുക. അവസാനം യാതൊന്ന് അത് മുതൽ വ്യക്തമായി ക്രിയ ചെയ്തു കിട്ടുന്നത് ഗുണവർഗ്ഗഫലം അതിൽ നിന്ന് 1 കുറച്ച് 1 കുറച്ച് ഗുണം കൊണ്ടു ഹരിച്ച് കിട്ടിയതിനെ മുഖം കൊണ്ട് പെരുക്കിയാൽ ഗുണോത്തരം ശ്രേണിയിൽ ഗണിത (സങ്കലനം ഫലമാകുന്നു മുഖം = മ; ഗുണം - ഗു; ഗ - ഗ; സർവ്വധനം a+ar+ar²+ ar³ +.... ar " W 001 S 2 = + a.r Sr = ar + ar²+ ar³+.... ar +ar 1 + a.r" = ara-a = a(r" -1) a(r" -1) S(r-1) S " എന്നത് ഗുണവർഗ്ഗഫലം. ഇതിൽ 1 കുറച്ച്, കുറച്ച് ഗുണം കൊണ്ട് ഹരിച്ച് മുഖം കൊണ്ട് പെരുക്കിയത് സർവ്വാനം . (s) വിഷദേശ - ഗുണകാരത്തെ അതിനെ കൊണ്ടുതന്നെ പലവട്ടം ഗുണിക്കുക. ഉദാഹരണമായി 3 മുന്നേഘാതം പതിനൊന്ന് ക്രമപ്രവൃദ്ധമായ പ്രക്രിയ കാണുക 3 - മുന്നേപാതം പതിനൊന്ന് 1. 2. 3. 4. 5. 5. 4 3 2. 1. 11ൽ നിന്ന് 1 മാറ്റിവെക്കുക . ബാക്കി 10 10 സമം - അർദ്ധിക്കുക - 5 5 വിഷമം - ഒരു ഗുണകം മാറ്റി വെക്കുക . ബാക്കി 4 സമം - അർദ്ധിക്കുക - 2 ഒരു ഗുണകം - ഗുണകം അവസാനിച്ചു ഇനി ക്രിയ ഈ രീതിയിൽ പിന്നോട്ട് 3 = 3 അതിനെ വർഗ്ഗിക്കുക. 33 = 9 അതിനെ വർഗ്ഗിക്കുക. 3 = x=81. മാറ്റി വെച്ച ഗുണം കൊണ്ടു പെരുക്കുക. 3 = 8183=243, അതിനെ വർഗ്ഗിക്കുക. 243 x 243 = 590403). മാറ്റിവെച്ച ഗുണകം കൊണ്ടു പെരുക്കുക. 310x 3=31-59049 x 3 = 177147 പുർവ്വം വാടകയും 45 [ 46 ] നദിഗുണോത്തരം പ്രതി പ്രതഹമാിജനായൻ മാസേനിഷ്കാൻ ദാതികി അർത്ഥികൾക്ക് ആദ്യം ? വാടക കൊടുത്തു. പിറ്റേന്ന് 4 ഇങ്ങനെ ദിനം പ്രതി ഇരട്ടിച്ച് ഒരു മാനം കൊടുത്താൽ എത്ര നിഷ്കം കൊടുത്തു. = = 2. 2+2+23+ 230-1 2-1 230 -= 2(20-1) 30 →15.15 15 വിഷയം 15 -1 – 14 → 7. വിഷം 7 -1 = 6 സമം 3.3 വിഷമം 3 - 1 = 2 സമം 1.1. ഇനി ഇതിന്റെ പ്രതിലോമം ക്രിയ ചെയ്യുക. 2 = 2 വർഗ്ഗിച്ച് 22 - 4. ഗുണം കൊണ്ടു ഗുണിച്ച് 2 = 4 x 2 = 8 വർണ്ണിച്ച് 2 = 8 x 8 = 14 ഗുണിച്ച് 2 – 64 x 2 128; ndgla 2 = 128 x 128=16384 gml215 = 16384 x 2 = 32768 വർഗ്ഗിച്ച് 2 = 32768 x 32768 = 1073741824 ഇതിൽ നിന്ന് 1 കളഞ്ഞു 1073741823 മുഖം കൊണ്ടു പെരുക്കിയത് 2147483646 = ധനം ഗുണോത്തരശ്രേഢിയിലെ ഗുണം 1ൽ കുറഞ്ഞ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ Sa+ar+ar + ar³ + .......+ ara Sr = a++ ar² + ar + + ar¹ + ar S(1r) =a-ar" a(1-2) a(1-1) S = ഇവിടെ ഈ വലുതാകുമ്പോൾ ' നമായിരിക്കും. cod Sna(1) വില കാണുക - 0.3333 = = a - 0.333 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + ഇവിടെ മുഖം 3/10. ഗുണം = 110; ച്ഛം - അനന്തം 0.333..+ + ar 3 3 100 + 1000 10000 +3. +3. 10 10 +3. 10° 10 3( + " 10 1/10 3 ( 1-1/10 3. 0.272727. 0.272727. 10 = - 10 9 102 + 103 + + 10' 301 (T-OT+ 10 10 27 27 = + 100 10000 0.27 +0.0027+ 0.000027 + 27 1000300 + 46 [ 47 ] " " 27( + + ....) 100 10000 1000005 1/100 27( 1-1/100 27 ( 1/100 99/100 100 = 100 99 വില കാണുക : 1 + 27. + 1+ 2+ 49 വില കാണു ഇവിടെ മുഖം = 1 = 3 1-2/3 1/3 3 + 33 + 333 + 3333 + 33333 + .......... സംഖ്യകൾ = 44 3 9 3(1+11+111+1111+. .........) (9+99+999+9999+. ((10-1)+(100-1) + (1000-1)+.........}. +4 (10+ 10+ 10+ 10+++ 10-n) 1322 11 10 27 10 x (10" ―1) 10-1 (10-1)- n) പ്രസരണം (വികൽപം, മിശ്രണം PERMUTATION COMBINATION - പല വസ്തുക്കളെ കൂട്ടികലർത്തി പലവിധത്തിൽ സംവിധാനം ചെയ്യുന്ന രീതികളെ കണ്ടുപിടിക്കുന്ന ഒരു ഗണനമാർഗ്ഗമാണ് പ്രസ്തരണവും (FERMUTATION) ദി വും (COMBINATION). ഇന്ന് ആംഗലദീതിയിൽ Pr, nr എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്ന വസ്തുതകൾക്കുള്ള പൊതുവാക്വം ആദ്യമായി അവതരിപ്പിച്ചത് മഹാവിദനാണ്. ഭാസ്ക മനും ഈ ശാഖ അഭിവൃദ്ധിപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. പുരാതന ജൈനരുടേയും വേദകാലഭാരതീയരുടേയും ശ്രദ്ധ ഈ ഗണന വിഭാഗ ത്തിൽ പതിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. ഛന്ദസ്സുകളിലെ ഗുരുലഘാക്ഷര ക്രമികരണത്തെപറ്റി ചിന്തിച്ച പ്പോഴും സാഹിത്യരചനകളിൽ പലരസങ്ങൾ സംയോജിക്കുന്ന ഭിന്നരീതികൾ പഠിച്ചപ്പോഴും സുഗന്ധമങ്ങളുടെ കലർപ്പുകൾ പരിശോധിച്ചപ്പോഴും ഈ ഗണനതത്വങ്ങൾ ആവിഷ്ക രിക്കപ്പെടുകയായിരുന്നു. പ്രശ്നം നേരിട്ടു കൈകാര്യം ചെയ്തുതന്നെ വിഷയം പഠിക്കാം. നിരന്തരം ദ്വാദിനപാവസാ സംഖ്യാവിനോ കതിസംഭവന്തി തൻ സംഖ്യകക്വാനി പൃഥക് വദാശു 2, ഇവകൊണ്ടും 3. 3 3 എന്നിവ കൊണ്ടും 2 മുതൽ 9 വരെയുള്ള അക്കങ്ങളെക്കൊണ്ടും 47 [ 48 ] എത്ര സംഖ്യകളുണ്ടാവാം അതും അവയുടെ യും എന്ന് വെരെ വേഗം 2 മുതൽ 9 വരെ എട്ടു അക്കങ്ങളാണുള്ളത്. അപ്പോൾ ഇവകൊണ്ടുണ്ടാവുന്ന സംഖ്യ കൾ എട്ടു സ്ഥാനങ്ങളുള്ളവയായിരിക്കും. ഒരു സ്ഥാനത്ത് എട്ടിലേതെങ്കിലും ഒരു സംഖ് വരാം. അപ്പോൾ ആ ഒരു സ്ഥാനം എട്ടുവിധത്തിലാവാം ആ എട്ടിലൊന്നെടുക്കുക. അതിന്റെ രണ്ടാം സ്ഥാനത്ത് ബാക്കിയുള്ള ഏഴക്കങ്ങളിൽ നിന്ന് എന്തെങ്കിലുമാവാം. എഴു വിധത്തിലാവാം. അപ്പോൾ എട്ടിൽ ഓരോന്നിനും ഈ പുഴുവിദേശങ്ങളുണ്ടകുമ്പോൾ ഒട്ടാകെ 87 വിധത്തിലായി അതിലൊന്നെടുക്കുക. അതിന്റെ മുന്നാം സ്ഥാനത്ത് ബാക്കിയുള്ള ആനക്കങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നായിരിക്കും. അതായത് ആറ് വിധത്തിലാവാം. അപ്പോൾ 8x7 വിഭേദങ്ങൾക്കും മൂന്നാം സ്ഥാനം നിറയുമ്പോൾ 8x7x വിഭേദങ്ങളുണ്ടായി ഇങ്ങനെ മറ്റു ആസ്ഥാനങ്ങളെപ്പറ്റിയും ചിന്തിക്കുമ്പോൾ എട്ട് സ്ഥാനങ്ങളും നിറയുന്നതിന 8x7x6x5x4x3x2x1 മാർഗ്ഗങ്ങളുണ്ടെന്ന് സിദ്ധിക്കുന്നു. ഇതിനെ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കു ന്നു. വായിക്കുന്നത് “ഏകാദിഘാതം 8” (FACTORIAL 8) 28 = 40320, ഇത്രയും സംഖകളുണ്ടാവാം ഇനി ഇവയുടെ യോഗം (ആകെത്തുക) കാണണം. ക്കം ഒരു സ്ഥാനത്തിരിക്കട്ടെ. മറ്റു 7 അക്കങ്ങളെക്കൊണ്ടു 27 വിഭേദങ്ങളുണ്ടാവാം അതായത് 27 സംഖ്യകളിൽ ആ അക്കം ആ പ്രത്യേകസ്ഥാനത്ത് വരുമെന്നർത്ഥം ഇങ്ങനെ ആ അക്കം 8 സ്ഥാനത്തും 27 വിഭേദങ്ങളിലായി വരും. 6 എന്ന അക്കം എടുക്കുക. ആ അക്കം കൊണ്ടുസംഖ്യായോഗ നതിൽ വരുന്ന തുക = 66666666 x 27. ഈതപോലെ ഓരോ അക്കത്തെക്കൊണ്ടും തുകയുണ്ടാകുന്നു. എല്ലാം കൂടി കുട്ടിയാലുണ്ടാകുന്ന തുക (2+3+ +9) x 11111111 x 27 44 x 11111111 x 28 8 2463999975360 ഇനി ചോദ്യത്തിലെ ആദ്യഭാഗം എടുക്കാം. അതിൽ 2, 8 എന്നീ രണ്ടക്കങ്ങൾ മാത്രം അതിനാൽ അതിൽ വരാവുന്ന വകഭേദങ്ങൾ 1 x 2 = 2. അവയുടെ യോഗം (2 + 8) x 11. 22 = 110, 3, 9, 8 എന്നീ അക്കങ്ങളെക്കൊണ്ടുണ്ടാകുന്ന വിഭേദങ്ങൾ 1 x 2 x3=6. അവയുടെ യോഗം = (3 + 9 + 8) x 111 x = 4440 ഒരു കണക്ക് : പാശാം കുശാഹിസമരുക കപാലമു 3 ഖട്വാംഗി പാപയും വന്നി അന്യോന്യഹസ്തകലിൽ. കതിമുർത്തിഭേദാ കയറ്, തോട്ടി, പാമ്പ്, ഡക്ക, തലയോട് ദുലം, രോഗദണ്ഡ്, ശക്തി, ശരം, ചാപം ഇവയെ പത്ത് കരങ്ങളിലും മാറ്റി ധരിച്ച് രണ്ടുവിനും ഗദ, ചക്രം, പാദം, ശംഖ്, ഇവയെക്കൊണ്ട് വിഷ്ണുവിനും എത്ര മൂർത്തിഭേദങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നു? ശംഭുവിന്റെ മുർത്തിഭേദം = 10 = 3628800 == വിഷ്ണുവിന്റെ മൂർത്തിഭേദം = 24 = 24 ദ്വികപരിമിതന്നെ കലിസംഖ്യ: അംഭോധിക്കും ഭീശരത്ഭുതദൈസ്തഥാം 1, 2, 1, 1 ഈ അമാങ്ങക്കൊണ്ടും 1, 8 5, 5, 5 എന്നീ അക്കങ്ങളെക്കാണ്ടും 4, 3, 5, 5, 5 – ഈ കൂട്ടത്തിലെ മുന്ന് ട കൾക്ക് പകരം മൂന്ന് വിഭിന 48 [ 49 ] കളായിരുന്നെങ്കിൽ ആകെ സംഖ്യാവകഭേദങ്ങൾ 25 എന്നാൽ ഇവിടെ മൂന്നും ശ സംഖ്യ ആയതിനാൽ 3 സംഖ്യകൾ ഒന്നു തന്നെയായിരിക്കും. ആകയാൽ ആ nemomd=5x4=20 ഏകാരി അഞ്ചുസ്ഥാനങ്ങളിൽ ചേരുന്നതിനാൽ യോഗത്തിൽ വരുന്ന സംഖ്യ 24 = 88888 x 23 = 88888 x 45 ഇങ്ങനെ 4 കൊണ്ടു വരുന്നത് . ഒരു 5 ഒരു സ്ഥാനത്തുറപ്പിച്ചാൽ - 44444 x 25 24 25 മറ്റു അനക്കങ്ങളെക്കൊണ്ടുവരുന്ന ഭേദം = .3 42 523 മായ ഇങ്ങനെ എല്ലാസ്ഥാനത്തും മറ്റു രണ്ടു അഞ്ചുകളെക്കൊണ്ട് വേ സംഖുകളു ണ്ടാകുന്നില്ല. അന്യോന്യം സ്ഥാനം മാറി നിൽക്കുമെന്നേ വരികയുള്ളു. അതിനാൽ 5 നെ കൊണ്ടുവരുന്ന ഭേദം = 3 x 55555 x 25 5x23 25 age como = (8+4+5 x 3) 11111 x 5x 23 25 ഇവിടെ 23 എന്നത് സംഖ്യാദങ്ങളുടെ എണ്ണം സംഖ്യാദങ്ങളുടെ എണ്ണത്ത് അ മിതി കൊണ്ട് ഹരിച്ച് അങ്കങ്ങളുടെ യോഗത്തെ പെരുക്കി സ്ഥാനാന്തരത്വം കൂട്ടിയാൽ സംഖ്യ കളുടെ യോഗം കിട്ടും. x=(8+4+5+5+5) x 11111 x 27 x 11111x4=1199988 ഇനി ആദ്യഭാഗത്തെ അക്കങ്ങൾ 2, 2, 1, 1 20 5 സംഖ്യാവിഭേദങ്ങൾ 24 = 6 22.22 =(2+2+1+1) x 1111 x 9999 4 1 മുതൽ 9 വരെയുള്ള വിഭിന്നങ്ങളായ അക്കങ്ങളെക്കൊണ്ട് 4 സ്ഥാനമുള്ള എത്ര സംഖ്യക ളുണ്ടാക്കാം. ഒന്നാം സ്ഥാനം 9 വിധത്തിൽ വെക്കാം. ഓരോന്നിനും രണ്ടാം സ്ഥാനം 8 വിധം ദോന്നിനും മുന്നാം സ്ഥാനം 7 വിധം. ഓരോന്നിനും നാലാം സ്ഥാനം 6 വിധം, ആകെ വരുന്ന വിഭേദങ്ങൾ – 9 x 8 x 7 x i ഒരു സ്ഥാനത്ത് വെച്ചത് വേ സ്ഥാനത്തും വെക്കാമെങ്കിൽ ആകെ വിഭേദങ്ങൾ = 9x9x9x9 94 സമാന്തര ശ്രേണിയും ഗുണോത്തര ശ്രേണിയും സർവ്വധനം കാണുക a+ (a + d)r+ (a + 2d)r + (a + 3d)r³ ഓരോ പടവും രണ്ടുതരം മണികൾ കലർന്നതാണ്. 1. പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക Sn എന്നിരിക്കട്ടെ. Sn a+ (a + d) r+ (a + 2d) r² + rSn = ar + (a + d)r² + (a + 2d)r³ + കിഴിക്കുമ്പോൾ (Ir) Sn = a + dr + dr² + dr³. 0-1 1-r a + dr x 49 1- - [a + (n-1)d]r"-1 [a+ (n-1)d]rn - 4"-1 -[a+ (n-1)djrn - la+ (n-1)dr [ 50 ] compilar nemilo mil a dr-- [a+(n-1)d]r Sn = + 1 1-I (1-r)² 1 ൽ കുറവും 11 അനന്തവുമെങ്കിൽ ശൂന്യത്തിന് തുല്യം c.S= സർവ്വാഹം കാണുക. dr + (1-r)2 1 + 5x + x + 13 + .......... 11 പദങ്ങൾ Sn = 1+5x+9x² + 13x+.......(4-7)x-2. n-1 + (4n-3)x-1 xSn =x+5x+9x+ (4n-7)x +(4n-3)x" Sn(1-x)=1+4x+4x² + 4x³ + .... 4x-1-(4-3)xn = 1+4x 1-x- Sn = - -(4n-3) x 1-x +4x-4x" (1-x)² 4nx" 3x" -- + 1-x 1-x S 1-x 1+3x-4nx" <--I 1-(4n-3)x" 1-x = + + 4x (1-x-1) (1-x)2 4x (1-x-1) (1-x)² 1+2+3+4+ S=1+2- +3 32 (1-1) S=1+++ s=1=3/2 1-1/3 32 33 +4 + + + 32 33 34 .. S = 3 + = 3+ (3 + d) +(3+2d)+(3+3d) 3 = 2. + 42 4³ 8 അനന്തതയോളം എടുത്തുക - എങ്കിൽ 9 ഈ യുടെ വില കാണുക ശ്രേണിയുടെ തുക S എന്നിരിക്കട്ടെ. S = 3+ (3 + d) + (3 + 2d)+(3+30) Mo !! Di 42 (1)S=3+d S = 3 +(3+d)+(3+2d)+(3+3d) 3 S 3+ (1 = + + 43 4" +d1 + 142 + 4 d41 4 = 3+ 443 =3+ x 41-14 == 3+ 3 50 [ 51 ] S = (3+) 48 (3+) 3 3 3 +44 3 9 d = 11 3=23 3 X x 3 ചില സംഖ്യാ കസർത്തുകൾ - 4 = = 2 2323 ഭാരത്തിൽ ഗണിത സൂചി 139 x 109 15151 152207 x 73 12345679 x 9 11111111 111111111 11011011 X 91 1002002001 14287143 x 7 = 100010001 142857143 x 1000000001 333333666667 X 33 = 11000011000011 ഈ ഗുണനഫലങ്ങൾ വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും വായിച്ചാൽ ഒരു പോലിരിക്കും. മഹാവീരൻ ഏകാങ്കദിനങ്ങൾ UNIT FRACTIONS 1 = 1 + + ++ + 32 33 31-2 2x3- ഇതിലെ n = 5 എന്നെടുത്താൽ 1 1 = + + + + 3 9 27 54 + 2x3x½ 3x4x2 മറ്റൊരു തരത്തിലും 1 നെ ഏകാഭിന്നങ്ങളുടെ തുകയാക്കാം അതിനുള്ള സമവാക്യം: ഇതിലെ n = 4 എന്നെടുത്താൽ 2nx +...... + (2n-1)x2nx 1 1 = + + + 10 15 + + + ഈ ഏകാങ്കദിനങ്ങളുണ്ടാക്കുന്ന മേൽ സൂചിപ്പിച്ച ക്രിയയുടെ തന്ത്രം താഴെ വിവരിക്കു രൂപകാംശരാശരി ഒരു ഭിന്നിക്കരെ എണ്ണധാരി (NUMERATOR) 1 ആയും കൊണ്ടുള്ള പല ദിനിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി പുനഃസംവിധാനം ചെയ്യുന്നതിനാണ് രൂപകാംഗരാശി യെന്ന് പറയുന്നത്. 1. എണ്ണ ധാരിയായി വരുന്ന 1 ദിനിതങ്ങളുമെന്ന് കരുതുന്നു. അതിൽ ആദ്യന്തങ്ങളിലുള്ള രണ്ടു പദങ്ങളൊഴികെ ബാക്കിയുള്ള 11. നിപദങ്ങളും ഒരു രമണി (GEOMETRIC SERIES) യിലാവട്ടെ ആ ശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ പരവും സാധാരണ ഗുണവും (COMMON RATIO) 1/3 എന്ന് കരുതു th 51 ആ ശ്രേണിയുടെ തുക [ 52 ] a(1 = = 31-3 = 1- ഭാരതീയ ഗണിതപിക = ½½2 (1 3-2) = ½½-½ 3 2 = 1½ 3-1 | 2/3 3-1 എന്ന ഭിന്നവും ചേർക്കുക. ആ ശ്രേണിയുടെ ആകെത്തുക 1 ആയി രിക്കും. എല്ലാം പിന്നിയങ്ങളുടേയും എണ്ണധാരിയും 1 ആയിരിക്കും 11 ന് 7 എന്ന വില കൽപ്പിച്ച് പരിശോധിക്കാം. 1 1 1 1 1 2+ 3 32 + + + + + 3³ 34 35 2.35 = +++ + + + 243 243 162 54 = + + + + + 486 486 486 486 243+162+54+18+6+2+1 == 486 486 486 = 1 = 1 + + + 42 56 (P - 1) കൊണ്ട് 11 നെ നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാൻ പറ്റുന്ന തരത്തിലുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ് P - എങ്കിൽ n = n Pxn + Pxn/P-1 ഉദാഹരണമായി 11 = 32; P = 9 എന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. 18 32 + (9 x 32)/(9-1) 288 +(288/8) 288 + 288 = 288 = -32 n = = ഫോർമുലയിൽ Pn. + P-1 84 43x42 = Pn 1 = = P-11+P-1 = Pn Pn 43+21+14+6 43x42 Pn P-1 Pn n മറ്റൊരു വിധം 2 43= 48 43x24 + + + 86 129 301 43+4+1 43x24 + + 2.58 1032 ഇനിയും ഒരു വിധം 52 [ 53 ] 43 360 43x180 Boogik omilan augailan 215+90+45+10 43x180 36 + 86 + 774 12+32 +52 + 72+ 1-1900000 (2n-1)=4n2-4n+1 എന്ന ശ്രേണിയിലെ 2 പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കാണുക സർവ്വധനം = 4.12 4.1 + 1 4.22 4.2 + 1 4.32 4.3 +1 4.n² - 4.n +1 4(12+22+32 + 4(1+2+3+ n²) .n) + n = 4x (n+1X2n+1) - 4x = n(n+1)+n TU2 2n(n+1)(2n+1) 3 2n(n+1) + n 3 [2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3] (4n² + 6n+2-6n-6+3) (4n-1) ഒരു ശ്രേണിയിലെ 7-ാമത്തെ പദം 1(11+1) (1+4) എങ്കിൽ ആ ശ്രേണിയിലെ 11 പദങ്ങളുടെ സർവ്വധനം കാണുക. n-096030 സർവ്വധനം = = n(n+1)(n+4) n³+5n²+4n 13+5.12 + 4.1 2³ + 5.2² + 4.2 33 +5.32 + 4.3 x X X X n³ + 5n² + 4n n(n+1)+5n(n+1)(2n+1) + 6 2 n(n+1) 12 3n(n+1)+10(2n+1)+24] n(n+1) 12 (3n² + 23n+34) 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ഇതിലെ 11-ാമത്തെ വരിയിലെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കാണുക. 53 4n(n+1) 2 [ 54 ] 17-ാമത്തെ വരിയിലെ അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം Gooi omilan moflen 2n 11 മത്തെ വരിയടക്കമുള്ള എല്ലാവരികളിലും കുടി ആകെയുള്ള അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം 2+4+6+8+ 2(1+2+3+4+ + 2n + n) 2(n+1)n = n(n+1) 2 ആവശ്വപ്പെട്ട തുക = 1. വരിയിലെ തുക മനോജ്‌ .കെ (സംവാദം) (11 - ( ) വരിയിലെ തുക ന അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക S ആണെങ്കിൽ ആവശ്യപ്പെട്ട ക = Sn(n+1)-S(n-1)n n(n+1)(n(n+1)+1} 2 (n-1)n((n-1)n+1) n(n+1)(n+n+1)n (n-1) (n2n+1) +2 (n+2n+2n+1-n²+ 2n²-2n+1) n (40² + 2) n (2n² + 1) 2 2441 E 11101 T 54 [ ശുദ്ധിപത്രം ]
| പേജ് | വരി | തെറ്റ് | ശരി |
|---|---|---|---|
| 5 | 34 | ച | N |
| 15 | 36 | പരിധി വ്യാസം പരിധി Π |
പരിധി വ്യാസം പരിധി Π |
| 16 | 33 | സ്‌താ | സ്‌തഥാ |
| 17 | 13 | ു | Π |
| 18 | 12 | ധ=7 | ധ=9 |
| 19 | 1 | സ്ഥാപിത്യ | സ്ഥാപജ്യ |
| " | 12 | ഗുൽബ | ശുൽബ |
| " | 19 | ഗണിതഞ്ജൻ ു | ഗണിതജ്‌ഞൻ Π |
32 22 1500 D 1500 AD 28 ABC ഋതു ACB 33 35 [V. (1/2 + am)] [1/2 (a'/m+m)] 37 3 വർഡേ 4 30 യോന ആ വരി ഇങ്ങനെ ആ വരി ഇങ്ങനെ ആ വരി ഇങ്ങനെ യോന √(√3-) =55-30 (1)+5 ആ വരി താഴെയുടെ ബ്രായ്ക്കറ്റിൽ ഉൾപ്പെടണം (12+2+3+2) (2+3+2) 17 " = 40 9 41 34 42 8 24 = " 44 28 22 451 8 ആദ്യസങ്കലനം = ആദ്യസങ്കലനം ആദ്യസങ്കലനം ആദ്യസങ്കലനം ക്ഷന്തമാന്ത്യം ക്ഷയാന്തമന്ത്യം (b) (atom) (s) une conseg fog- A W CEBAN [ പുറം_ചട്ട ]
ഈ ഗ്രന്ഥം ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കാനുള്ളതല്ല. പഠിച്ചവർക്ക് അല്പം കൂടുതൽ മനസ്സിലാക്കുവാനും ആസ്വദിച്ചാനന്ദിക്കാനുമുള്ളതാണ്. ആംഗലേയ ഭാഷയിൽ ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിച്ചവർക്ക് എല്ലാവർക്കും ഭാരതത്തിൽ സംസ്കൃതത്തിൽ എന്തെല്ലാം കിടപ്പുണ്ടെന്ന് അറിഞ്ഞെന്നു വരില്ല. പൗരാണികരായ ഗണിതശാസ്ത്ര പണ്ഡിതരുടെ പ്രാഗത്ഭ്യത്തെ കുറിച്ച് അല്‌പമെങ്കിലും മനസ്സിലാക്കി അഭിമാന പുളകിതരാകുവാൻ ഈ പുസ്തകം വായനക്കാരെ സഹായിക്കുന്നു. 'വിസ്‌തൃതഗോള ശാസ്ത്രം' എന്ന വൈജ്ഞാനീയ ഗ്രന്ഥത്തിനുശേഷം വി.വി.അബ്ദുല്ല സാഹിബിന്റെ മറ്റൊരു പ്രൗഢഗ്രന്ഥം.